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0
('\"')
T'-f
0
N
@
~
..c
Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 3 • Seconde quantification
44
En prenant l'exemple de la diffusion coulombienne de deux électrons dans une
boîte de volume n soumis à un potentiel extérieur v(X'.), le hamiltonien devient :
(3.47)
--+
Les états propres pour un électron libre sont des ondes planes d'impulsion k définie
(modes de Fourier). Les opérateurs création (annihilation) sont donc les opérateurs
--+
qui créent (annihilent) un électron d'impulsion k. En prenant ces états comme base,
le hamiltonien en fonction des opérateurs de création et d'annihilation s'écrit:
A
~ n
2
k
2
+
~
+
1 ~ e
2
+
+
11 =
- --c.,.ck+
v(ëj)c . . . . _pk+ -
2
c.,. ...,c.,. .... ckck''
2m k
k+q
2
.Q4n-coq k+q k' - q
k
k,if
k.k
1
,if
(a)
(b)
(c)
où v(i/) est le potentiel dans l'espace de Fourier (v(i/) = J v<[;e-iifrdY). Chaque terme
peut être interprété comme :
(a) la propagation libre de l'électron : création et annihilation du même état d'impulsion.
-+
(b) la diffusion d'un électron d'impulsion k sur le potentiel extérieur avec un transfert
d'impulsion if: annihilation de l'état initial d'impulsion k et création de l'état
final d 'impulsion k +if.
-+
-+
( c) l'interaction coulombienne entre deux électrons d'impulsion k et k' avec un transfert d'impulsion q: annihilation des états initiaux puis création des états finals.
Ces différentes interactions sont représentées sur la figure 3.2.
-
k
-
k
-
k
(a)
k+q k
(b)
.....
k+q
k
. . . . . , ~·
- q
Figure 3.2 - Diffusion coulombienne: (a) propagation libre - (b) diffusion sur le
potentiel extérieur - (c) diffusion entre 2 particules.
3.5 OPÉRATEURS DE CHAMP
La mécanique quantique traite le temps et l'espace de manière radicalement différente. Or, l'un des principes de la relativité restreinte est de traiter sur un pied d'égalité
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Chapitre 3 • Seconde quantification
44
En prenant l'exemple de la diffusion coulombienne de deux électrons dans une
boîte de volume n soumis à un potentiel extérieur v(X'.), le hamiltonien devient :
(3.47)
--+
Les états propres pour un électron libre sont des ondes planes d'impulsion k définie
(modes de Fourier). Les opérateurs création (annihilation) sont donc les opérateurs
--+
qui créent (annihilent) un électron d'impulsion k. En prenant ces états comme base,
le hamiltonien en fonction des opérateurs de création et d'annihilation s'écrit:
A
~ n
2
k
2
+
~
+
1 ~ e
2
+
+
11 =
- --c.,.ck+
v(ëj)c . . . . _pk+ -
2
c.,. ...,c.,. .... ckck''
2m k
k+q
2
.Q4n-coq k+q k' - q
k
k,if
k.k
1
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(a)
(b)
(c)
où v(i/) est le potentiel dans l'espace de Fourier (v(i/) = J v<[;e-iifrdY). Chaque terme
peut être interprété comme :
(a) la propagation libre de l'électron : création et annihilation du même état d'impulsion.
-+
(b) la diffusion d'un électron d'impulsion k sur le potentiel extérieur avec un transfert
d'impulsion if: annihilation de l'état initial d'impulsion k et création de l'état
final d 'impulsion k +if.
-+
-+
( c) l'interaction coulombienne entre deux électrons d'impulsion k et k' avec un transfert d'impulsion q: annihilation des états initiaux puis création des états finals.
Ces différentes interactions sont représentées sur la figure 3.2.
-
k
-
k
-
k
(a)
k+q k
(b)
.....
k+q
k
. . . . . , ~·
- q
Figure 3.2 - Diffusion coulombienne: (a) propagation libre - (b) diffusion sur le
potentiel extérieur - (c) diffusion entre 2 particules.
3.5 OPÉRATEURS DE CHAMP
La mécanique quantique traite le temps et l'espace de manière radicalement différente. Or, l'un des principes de la relativité restreinte est de traiter sur un pied d'égalité