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3.4. Construction d'opérateurs
où K est une constante numérique. Ainsi tout opérateur  peut s'écrire sous la forme
d'un polynôme d'opérateurs de création et d'annihilation, Â = p(aki a;). L'expression explicite de ce polynôme peut s'obtenir en identifiant les termes dans le calcul
des éléments de matrice :
= ~À;;, Àn (ml p(aki a; ) ln).
(3.42)
m,n
Cette approche est toujours utilisable mais conduit souvent à des calculs ardus. À
titre d'exemple, nous allons nous limiter au cas de deux particules en interaction, ce
qui correspond à une approche très générale des problèmes de diffusion.
3.4.2 Hamiltonien avec interaction
On va considérer le cas très général de la diffusion de deux fermions identiques (par
exemple, la diffusion coulombienne de deux électrons). Le hamiltonien le plus général pour ce problème est de la forme :
(3.43)
où T est la paitie cinétique du hamiltonien qui caractérise 1 'évolution libre des par"
11' '2
ticules (en mécanique quantique, r = ;,~V + v(x) où V est un potentiel extérieur)
et Û(x 1 , 1 2 ) est le hamiltonien d'interaction entre les particules (un potentiel coulombien s'écrirait 4 ~ ..,
1
). On considère une base quelconque { 1u:o 1-x2
états à une particule. En définissant les éléments de matrice :
tiJ = f (3.44)
uiJkt = J 'P; C x1) le hamiltonien s'écrit:
(3.46)
où ci etc+ sont les opérateurs création et annihilation. Ce résultat sera démontré dans
1
un cas particulier dans l'exercice 3.2.
Le premier terme s'interprète comme la propagation libre d'une particule (incluant
la diffusion de la particule sur le potentiel v(x)). Le second terme correspond à la
diffusion entre deux particules de l'état initial lkl) vers l'état final li}).
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