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T"-f
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N
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Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 3 • Seconde quantification
42
D'où finalement :
l
I~\) = a; I> = lh) ·
m
m
(3.34)
(3.35)
(3.36)
En généralisant le raisonnement à un ket quelconque, on obtient les relations de changement de base pour les opérateurs ak et a; :
(3.37)
m
àk = I. œ;nkam.
(3.38)
m
On vérifie ensuite que les nouveaux opérateurs ainsi définis satisfont toujours aux
relations de (anti)commutation (voir exercice 3.1).
3.4 CONSTRUCTION D'OPÉRATEURS
3.4.1 Expression d'observables à partir de ak et a;
Les états d'occupation formant une base de l'espace de Fock, tout état 11/1) peut
s'écrire comme une combinaison linéaire des états de Fock :
11/1) = I. Àn ln) ,
(3.39)
n
où l'indice n désigne une configuration d'occupation {n 1 , n2, .. . }, la somme portant
sur toutes les configurations (i.e. tous les états de Fock). Une observable physique est
associée à un opérateur  agissant sur l' espace de Fock. Les éléments de matrice de
 sont donnés par :
(3.40)
m,n
Or le seul moyen de passer d'un état ln) = ln1 , n1, · ·-) à un état lm) = lm 1 , m1, · ·-)
est de détruire n 1 particules dans l'état pour chaque état. Ceci revient soit à créer m 1 - n 1 particules si m 1 > n 1 , soit à
détruire ni - mi particules si mi < ni. En notant }k = min(nki mk), les seuls éléments
de matrice non nuls de  sont alors nécessairement de la forme :
(3.41)
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D'où finalement :
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En généralisant le raisonnement à un ket quelconque, on obtient les relations de changement de base pour les opérateurs ak et a; :
(3.37)
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(3.38)
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On vérifie ensuite que les nouveaux opérateurs ainsi définis satisfont toujours aux
relations de (anti)commutation (voir exercice 3.1).
3.4 CONSTRUCTION D'OPÉRATEURS
3.4.1 Expression d'observables à partir de ak et a;
Les états d'occupation formant une base de l'espace de Fock, tout état 11/1) peut
s'écrire comme une combinaison linéaire des états de Fock :
11/1) = I. Àn ln) ,
(3.39)
n
où l'indice n désigne une configuration d'occupation {n 1 , n2, .. . }, la somme portant
sur toutes les configurations (i.e. tous les états de Fock). Une observable physique est
associée à un opérateur  agissant sur l' espace de Fock. Les éléments de matrice de
 sont donnés par :
(3.40)
m,n
Or le seul moyen de passer d'un état ln) = ln1 , n1, · ·-) à un état lm) = lm 1 , m1, · ·-)
est de détruire n 1 particules dans l'état pour chaque état. Ceci revient soit à créer m 1 - n 1 particules si m 1 > n 1 , soit à
détruire ni - mi particules si mi < ni. En notant }k = min(nki mk), les seuls éléments
de matrice non nuls de  sont alors nécessairement de la forme :
(3.41)