"O
0
c
::J
0
('\"')
;a;
T"-f
"='
0
c
N
::i
@
"' "'
"'
~
~
..c
't:
Ol
0
'5
ï::::
"'
>c
a.
0
0
c
c
u
.Q
ü
::i
"='
2
o.
f
"'
'5
F!
-ci
0
c
::i
0
@
3.3. Opérateurs de création et d'annihilation
On retrouve le résultat attendu, ce qui justifie a posteriori le facteur (-1)< 5 k qui permet
de rendre compte du caractère antisymétrique de la fonction d'onde dans la définition
des opérateurs de création et d' annihilation. On en déduit la relation :
(3.27)
Le nombre d'occupation est également donné par le produit c; ck = nk :
(3.28)
et
qc; IOk) = ll k) }
+
_
+Il ) 0
~ Ckck. lnk) - (1 - nk) lnk) .
qck k =
(3.29)
On en déduit une relation d' anticommutation analogue à la relation de commutation
des bosons :
(3.30)
Finalement les opérateurs de création et d'annihilation des fermions sont caractérisés
par leurs relations d'anticommutation :
[c7, c.j L = [ci, cJ]+ = 0,
[ci, c.j L = ôi.i l .
(3.31)
(3.32)
Dans la représentation des états d'occupation, tout état à n particules identiques
peut se construire par application successive des opérateurs de création et d' annihilation sur un état de référence (on prendra généralement l'état vide). La nature
bosonique ou fermionique des particules du système se traduit dans l'utilisation
d'opérateurs vérifiant les propriétés de commutation (bosons) ou d' anticommutation
(fermions). Dans un calcul, si la nature bosonique ou fermionique ne joue pas de rôle,
on utilisera la notation ak et a; pout désigner ces opérateurs.
3.3.3 Changement de base
La construction des opérateurs de création et d'annihilation est associée à une base
orthonormée { nombres d' occupation nk dans cette nouvelle base sont évidemment différents. Il faut
donc définir de nouveaux opérateurs ak et a;. On a alors :
[fJk(X) = ~ Œmk (3.33)
m
41