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Chapitre 3 • Seconde quantification
40
L'opérateur btbk est diagonal et les états de Fock lnk) sont des états propres de valeur
propre nk (nombre d'occupation de l'état). C'est l'opérateur du nombre d'occupation
de l'état noté nk. Il est intéressant de remarquer qu'un état quelconque 11/1) de
l'espace de Fock est une combinaison linéaire d'états pouvant avoir des nombres
d'occupation différents. Dans le cas général, le nombre de particules du système n'est
pas défini. La grandeur (1/11nk11/1) est alors le nombre moyen de paiticules dans l'état
De la même manière, on montre que l'opérateur bkb; est également diagonal avec
bkb; lnk) = (nk + 1) lnk). On en déduit alors le commutateur :
[bki bt J- = bkb; - b; bk = Il .
(3.19)
Les règles de commutation pour les opérateurs de création et d'annihilation de bosons
sont alors:
[b7' b} ]_ = [bi, bj]- = 0,
[bi , b} L = 8ij l .
3.3.2 Cas des fermions
L'opérateur d'annihilation Ck d'un fermion dans l'état Ck llk) = (-l)
6
k IOk)'
q IOk) =O.
(3.20)
(3.21)
(3.22)
où 8k = ~i analogue au cas bosonique, on en déduit les matrices des opérateurs Ck etc; :
(
0 (-1)<
5
k) + ( 0 0)
Ck = 0 0
et ck = (-l)<'k 0 .
(3.23)
On vérifie encore que le complexe conjugué c; est bien un opérateur de création :
(3.24)
Cette dernière condition traduit le principe d'exclusion de Pauli : il est impossible
de créer une seconde particule dans l'état et puis l'état 2 et un état l/Jb en peuplant d'abord l'état 2 puis l'état 1. Les états l/Ja et l/Jb
s'obtiennent par permutation des deux particules et on doit donc vérifier l/Ja = -1/Jb·
En utilisant les opérateurs cr etc;, il vient :
li/la)= c;cr I> = c; Il 1) = -111, 21), car n1=1d'où82 = 1.
li/lb) =cr c; I> =cr lh> = 11,, 2, >,car 81 =o.
(3.25)
(3.26)