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3.3. Opérateurs de création et d'annihilation
• les opérateurs de création : nk ~ nk + 1
• les opérateurs d'annihilation: nk ~ nk - 1
Il faut traiter séparément les cas des bosons et des fermions pour prendre en compte
les différences de symétrie des fonctions d'onde.
3.3. l Cas des bosons
L'opérateur d'annihilation bk de l'état 'Pk est défini tel que:
bk 1 ... , nb .. . ) = yrïk 1 ... , nk - l, ... ) si nk > 0,
bk 1 . . . 'Ûb ... ) = o.
(3.12)
La seconde relation traduit le fait qu' il est impossible de détruire une particule qui
n'existe pas. Il ne faut pas confondre 0 et l'état vide 1) qui sont deux objets différents.
S'il n'y a pas d'ambiguïté, on notera lnk) = 1 ... , nki .. . ) un état quelconque avec nk
paiticules dans l'état 'Pk· Les états de Fock étant 01thonorrnés, les seuls éléments de
matrice non nuls de bk sont :
(3.13)
En prenant le complexe conjugué de cette expression, il vient :
(3.14)
Ce sont les seuls éléments de matrice non nuls de l' opérateur bt, complexe conjugué
de bk. Alors :
(3.15)
ou encore:
(3.16)
Ceci con-espond à un opérateur qui augmente le nombre d'occupation d' une unité,
soit un opérateur de création. Les sous-matrices des opérateurs de création et d'annihilation sont donc :
0 0 0 .. .
0 1 0 .. .
1 0 0 .. .
b; = 0 ...fi 0 .. .
0 0 ...fi .. .
et bk = 0 0 0
(3.17)
..
Considérons maintenant l' opérateur b; bk appliqué à un état lnk):
(3.18)
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