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Chapitre 3 • Seconde quantification
38
• l'ensemble des nombres nk où l'état 'Pk apparaît dans tft. C'est le nombre d'occupation de l' état 'Pk·
Un état à n particules peut donc être représenté par un ket:
ln1 , n1, .. . ) avec .l: nk = n .
k
Pour les bosons, nk EN, alors que pour les fermions, nk E {0, 1}.
(3.10)
Dans la pratique on ne note que les nombres d' occupation non nuls. Ainsi l'état
vide s'écrit 1). La figure 3.1 illustre la construction d'états d' occupation.
(a)
(b) c:J D
Figure 3.1 - Exemple de construction d'états d'occupation bosonique (a)
et fermionique (b).
L'ensemble = {I), .. . , ll k) , ... , llki l k') , ... , l2k), ... }, de tous les états d'occupation, incluant toutes les valeurs den (c'est-à-dire le vide et les états à une, deux,
trois, . .. particules) forme une base orthonormée d'un nouvel espace vectoriel appelé
espace de Fock (3.11)
Avec cette formulation, on dispose maintenant d' un unique espace de Hilbert qui
contient tous les états pour toutes les multiplicités de particules. Il doit alors être
possible de construire des opérateurs sur l'espace de Fock qui modifient le nombre
de particules. L' écriture effective de la fonction d' onde à n particules passe toujours,
pour le moment, par un déterminant de Slater.
3.3 OPÉRATEURS DE CRÉATION
ET D'ANNIHILATION
On va s'intéresser au cas particulier d'opérateurs sur l'espace de Fock qui font varier
le nombre d'occupation d' un état d' une unité :