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3.2. Représentation des états d'occupation
En généralisant à un nombre n quelconque de particules, ces fonctions d'onde deviennent:
!./!s(X1, X2, ... , Xn) = Cs I P [ {JP}
(
= Cs x perm
:
. .
:
!./!A (x1, X2, ... , Xn) = CA I (- 1) 0 PP [ {P}
(
= CA X det
:
. .
:
,
(3.8)
(3.9)
où les sommes portent sur toutes les permutations possibles des coordonnées Xj . Les
coefficients CA et Cs sont des coefficients de normalisation qui assurent(!./! Il./!) = 1.
La fonction d'onde antisymétrique est décrite par un déterminant dit déterminant
de Slater. La fonction d'onde symétrique s'écrit de manière similaire à l'aide d' un
permanent (déterminant sans alternance de signes).
Dans le cas de la fonction d'onde antisymétrique, si deux fonctions d'onde sont identiques alors il y a deux colonnes égales dans la matrice et le déterminant de
Slater est nul. Ainsi deux fermions identiques ne peuvent pas être dans le même état
quantique : on retrouve ici le principe d'exclusion de Pauli.
L'ensemble des fonctions d' onde symétriques (antisymétriques) à n particules
forme un sous-espace de 'Hn que l'on note ['HnJs (['Hn]A). La construction des fonctions d'onde à n particules par les déterminants de Slater est souvent peu pratique, en
particulier quand n devient grand. De plus dans ce formalisme, deux états à n 1 et n 2
particules sont décrits par des fonctions d'onde définies dans des espaces de Hilbert
différents. Il est alors très difficile d'expliciter des opérateurs qui changent le nombre
de particules d'un système comme ce sera le cas en physique des particules où le
nombre et la nature des particules sont modifiés lors d' une interaction (par exemple,
la désintégration f3 du neutron n ~ p + e- +ile).
3.2 REPRÉSENTATION DES ÉTATS D'OCCUPATION
On suppose toujours la base { état à plusieurs particules If!, il suffit de préciser :
• la nature bosonique ou fermionique des particules,
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