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T"-f
0
N
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..c
Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 3 • Seconde quantification
36
• eia;J = + 1, la fonction d'onde tft est symétrique (inchangée) par permutation.
• eia;J = -1, la fonction d'onde tft est antisymétrique par permutation.
Ces deux comportements de la fonction d'onde à n particules indiscernables permettent de définir deux catégories de particules :
• les bosons qui vérifient pour toute permutation IP, lPtft = tft;
• les fermions qui vérifient lPtft = (-1) 6 1l 'tft, où ôp = 0 si lP est paire, 1 sinon.
Cette définition des bosons et des fermions ne fait aucun lien avec le spin des particules qu'on utilise souvent pour caractériser les bosons (spin entier) et les fermions
(spi n demi-entier). On va voir que l'on retrouve néanmoins les propriétés connues
pour chaque type de particules. La démonstration du théorème de connexion spinstatistique qui établit l'équivalence entre les deux définitions des bosons et des fermions se fait dans le cadre général de la théorie quantique des champs et sera très
brievement discutée à la fin du chapitre 4.
3.1.2 Fonction d'onde à plusieurs particules
Les équations de la mécanique quantique permettent généralement de déterminer la
fonction d'onde d'une particule individuelle. L'ensemble des fonctions d'onde à une
particule forme un espace de Hilbert '}{. L'espace de Hilbert des fonctions d'onde de
systèmes à n particules s'obtient par produits tensoriels successifs de '}{, soit '}{n =
'}{ ® '}{ ® · · · ® '}{ = '}{®n. Si {
'Pk·
Dans le cas n = 2, si on considère deux particules discernables dans des états 'Pa et
'Pb, il existe deux états distincts à deux particules :
(3.5)
Pour des particules indiscernables, les fonctions d'onde qui vérifient les conditions
de symétries souhaitées sont des combinaisons linéaires de tfti et tftn. Pour les bosons,
la fonction d'onde symétrique est :
De même, pour les fermions, la fonction d'onde antisymétrique est:
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• eia;J = + 1, la fonction d'onde tft est symétrique (inchangée) par permutation.
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Ces deux comportements de la fonction d'onde à n particules indiscernables permettent de définir deux catégories de particules :
• les bosons qui vérifient pour toute permutation IP, lPtft = tft;
• les fermions qui vérifient lPtft = (-1) 6 1l 'tft, où ôp = 0 si lP est paire, 1 sinon.
Cette définition des bosons et des fermions ne fait aucun lien avec le spin des particules qu'on utilise souvent pour caractériser les bosons (spin entier) et les fermions
(spi n demi-entier). On va voir que l'on retrouve néanmoins les propriétés connues
pour chaque type de particules. La démonstration du théorème de connexion spinstatistique qui établit l'équivalence entre les deux définitions des bosons et des fermions se fait dans le cadre général de la théorie quantique des champs et sera très
brievement discutée à la fin du chapitre 4.
3.1.2 Fonction d'onde à plusieurs particules
Les équations de la mécanique quantique permettent généralement de déterminer la
fonction d'onde d'une particule individuelle. L'ensemble des fonctions d'onde à une
particule forme un espace de Hilbert '}{. L'espace de Hilbert des fonctions d'onde de
systèmes à n particules s'obtient par produits tensoriels successifs de '}{, soit '}{n =
'}{ ® '}{ ® · · · ® '}{ = '}{®n. Si {
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Dans le cas n = 2, si on considère deux particules discernables dans des états 'Pa et
'Pb, il existe deux états distincts à deux particules :
(3.5)
Pour des particules indiscernables, les fonctions d'onde qui vérifient les conditions
de symétries souhaitées sont des combinaisons linéaires de tfti et tftn. Pour les bosons,
la fonction d'onde symétrique est :
De même, pour les fermions, la fonction d'onde antisymétrique est: