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SECONDE
QUANTIFICATION
Nous allons maintentant commencer la construction du cadre formel de la physique
des particules. Dans ce chapitre, nous allons tenter d'étendre la mécanique quantique
pour décrire des sytèmes où le nombre et la nature des particules sont modifiés et
introduire le concept de champ quantifié.
3.1 ENSEMBLE DE PARTICULES IDENTIQUES
3.1.1 Bosons et fermions
L'un des postulats de la mécanique quantique est l'existence de particules indiscernables. Les observables physiques d'un système de particules indiscernables sont
invariantes sous les permutations de plusieurs particules.
Soit un système den particules identiques, il est décrit par une fonction d'onde
tjt(x 1 , 1 2 , ... , Xn), où chaque vecteur Xi caractérise chacune des particules (position,
spin, ... ). On considère un opérateur de permutation P tel que Ptjt est une fonction
d' onde du système où plusieurs particules ont été interchangées. Pour une observable
physique associée à un opérateur A, l'hypothèse d'indiscernabilité impose :
(3.1)
On admettra qu'il suffit pour cela que: Ptjt = eiatft, avec œ E JR. On vérifie alors que:
(3.2)
Une permutation élémentaire PiJ (avec i :/:- j) inverse les deux éléments i et j. Toute
permutation P peut se décomposer de manière générique comme le produit de permutations élémentaires. On a alors :
p
Pi.it/t = ei% t/t , et P = n Pik.ik .
(3.3)
k=I
Cette décomposition n'est pas forcément unique mais la parité du nombre de permutations binaires p est toujours la même. La parité de p définit la parité de la permutation (paire ou impaire).
Si on applique deux fois une permutation Pi.i on revient à l'état initial, Pfi = . En
appliquant cet opérateur à une fonction d'onde tft quelconque, il vient:
p~jt/t = t/t ==> e2iaij t/t = t/t ==> e2iaij = l.
(3.4)
Il en résulte deux possibilités pour la fonction d'onde :
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