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Chapitre 2 • Notions de physique moderne
30
soit
u = (yc, yV) et u!'uµ = c
2 .
(2.68)
Enfin on généralise la notion d'impulsion par la quadri-impulsion ou quadrivecteur
énergie-impulsion, p = mu = (ymc, ymV). Dans la limite des faibles vitesses f3 << 1
(mécanique newtonienne), le terme Po devient:
Po= ymc
1
= me ( 1 - /3
2
r
2
' "me(! +":)
1 (
mv
2
)
Po>=:;;~ mc2+2.
(2.69)
La composante temporelle de la quadri-impulsion est égale à l'énergie cinétique plus
un terme constant : l'énergie de masse. En mécanique lagrangienne, on montre que
poc est l'énergie. Ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion s'écrit p = (~,fi). Sa
norme vaut:
(2.70)
c'est la masse invariante de la particule. Comme son nom l'indique c'est un invariant
de Lorentz. Cette dernière relation se réécrit :
(2.71)
soit, en unités naturelles :
E
2 = m
2 + p
2 ou encore m
2 = E
2 - p
2 •
(2.72)
Les lois de conservation de l'énergie et de l'impulsion sont bien sûr toujours vérifiées
lors de l'évolution d'un système et se traduisent par la conservation de la quadriimpulsion totale du système. On parlera de paiticule relativiste quand p ~ m, et de
particule ultrarelativiste si p >> m. Dans ce dernier cas, on pourra faire l'approximation E 2 >=: ; ; p 2 comme pour une particule de masse nulle.
Finalement on introduit les opérateurs :
ô
ô
ôµ=
8
-et ~= -
8
.
Xµ
Xµ
(2.73)
Ils forment un opérateur quadrivectoriel qui généralise à l'espace-temps l'opérateur
V. On a alors :
(2.74)