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2.3. Relativité restreinte
L'intervalle entre l'origine 0 = (0, 0, 0, 0) et un quadrivecteur position x vaut :
(2.61)
L'intervalle correspond à la norme du quadrivecteur, qui sera souvent notée x 2 ou
X1 xµ- Dans cette dernière notation, dite notation d' Einstein, l'opérateur de sommation
est sous-entendu :
3
s
2 = x
2 = .2: X1 xµ = X" Xµ(2.62)
µ=0
De manière générale, toute notation faisant apparaître un même indice en haut et en
bas implique une somme sur cet indice. L'habitude veut qu'un indice grec corresponde à une somme sur les quatre coordonnées d'espace-temps (somme de 0 à 3),
alors qu'un indice latin indique une somme restreinte aux composantes spatiales
(somme de 1 à 3).
Le produit scalaire entre deux quadrivecteurs A et B vaut :
(2.63)
le dernier terme étant le produit scalaire euclidien. Les transformations du groupe de
Lorentz conservent l'intervalle. Comme un quadrivecteur se transforme de la même
manière que la quadri-position, on en déduit que A 2 et A.B sont également des invariants de Lorentz.
Dans un référentiel fixe, la variation d' intervalle est:
Dans le référentiel au repos de la particule, la variation spatiale est nulle et :
ds
2 = c
2 dr
2 .
L'invariance de l' intervalle sous une transformation de Lorentz implique :
dr = ~1 - [3 2 dt = !_dt,
y
(2.64)
(2.65)
(2.66)
ce qui définit le temps propre r de la particule. Dans une désintégration liée au temps
de vie d'une particule, c'est relativement au temps propre que l'on détermine la probabilité de désintégration.
À partir de l'intervalle élémentaire, on définit deux nouveaux quadrivecteurs : la
quadri-vitesse u et la quadri-impulsion p. La quadri-vitesse généralise la notion de
vitesse de la mécanique newtoni enne :
µ _ dxµ _ d:Af'
U -
dT - y dt
1
(2.67)
29