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Chapitre 2 • Notions de physique moderne
28
transfo1mation des coordonnées :
d'où:
dx = cosh rydx' + sinh rycdt'
dy = dy'
dz = dz'
dt = sinh rydx' + cosh rycdt'
dx
cosh rydx' + sinh rycdt'
u~ + ctanh T/
Vx = dt = ~ sinh rydx' + cosh rydt' =
I
•
1 + V~- tanh T/
(2.54)
(2.55)
En raisonnant de même pour uy et Vz, on trouve la loi de composition des vitesses :
Ux =
V~+ Cj3
1 + u' (}_
Xe
u' y/z
u' +V
X
V ' '
1+ ~ c2
Vy/z = = (
Vv'-).
"\/ 1 + - ·'
I
c2
(2.56)
(2.57)
Pour une particule de vitesse iJ dans rR_ et i! dans fR,' en mouvement avec la vitesse
~
V, on peut définir la rapidité dans le référentiel rR_, tanhx = ~ 'celle dans fR_', tanhx' =
u' je ainsi que la rapidité de rR,' par rappo1t à rR_, tanh T/ = V/c. Si les trois vitesses sont
selon la même direction, on a :
c
Vx + f
h I t h
c
c
tan x + an T/
rJ
)
- - - => tanhx =
= tanhvt + T/ •
1 + v~ f
1 + tanhx' tanh T/
c c
(2.58)
et finalement x = x' + ry. La rapidité est une grandeur additive.
2.3.3 Quadrivecteurs
La corrélation entre espace et temps introduite par la relativité restreinte oblige à
remplacer l'espace euclidien à trois dimensions par un nouvel espace à quatre dimensions, l' espace-temps de Minkowski. Dans cet espace, la position devient un objet à
quatre coordonnées appelé quadrivecteur position:
x = (x
0 , x
1 , X2, x
3 ) = (et, x, y, z).
(2.59)
Les coordonnées avec l' indice en haut sont appelées coordonnées contravariantes. Un
quadrivecteur quelconque A = (A 0 , A
1 , A 2 , A 3 ) est un objet qui suit les mêmes règles
de transformation que la quadri-position. Les coordonnées covariantes, notées avec
l'indice en bas, sont données par :
(2.60)