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2.3. Relativité restreinte
La rapidité joue un rôle impo1tant d'un point de vue expérimenta] car elle peut s'approximer par un critère géométrique.
L'intervalle s entre les deux événements (x 1 , t 1 ) et (x 2 , t 2 ) généralise la distance
euclidienne à l'espace-temps :
L'intervalle est une grandeur indépendante du référentiel :
s'
2 = c
2
(ti - t~)2 - ( x~ - x;)
2
- (y~ - y;)
2
- (z~ - z;)
2
= (y (ct1 - f3x1) - y (ct2 - f3x2))2 - (y (x1 - f3ct1) - y (x2 - f3ct2)) 2
- (y1 - Y2) 2 - (z1 - z2) 2
= c 2 (t1 - t2) 2 - (x1 - x2) 2 - (y1 - Y2) 2 - (z1 - z2) 2
s'2 = s2.
(2.52)
(2.53)
Si s 2 > 0, l'intervalle est dit du genre« temps» : les deux événements sont en causalité car une information peut passer du point 1 au point 2 avec une vitesse inférieure
à c. À l'inverse, si s 2 < 0, l'intervalle est dit du genre «espace» et les deux événements sont non causals car incapables d'échanger une information du fait de la
vitesse limite c.
Pour tout objet en mouvement à une vitesse v < c, on peut définir un référentiel
où l'objet est au repos. Les grandeurs /3, y et T/ sont ainsi définies dans un repère 'R
en considérant le mouvement de ce dernier par rapport au référentiel au repos, soit
f3 = ~·On pourra donc parler, par exemple, de la rapidité d'une pa1ticule relativiste.
Les seules transformations qui conservent l'intervalle sont, outre les transf01mations de Lorentz (ou boosts), les rotations d'espace, les translations et réflexions d'espace et les translations et réflexions temporelles. L'ensemble des ces symétries forme
le groupe de Lorentz-Poincaré. Dans une théorie relativiste, le principe de relativité
et la constance de la vitesse de la lumière se traduisent par l'invariance des lois de
la physique sur tout changement des coordonnées suivant une transformation de ce
groupe. De même, une grandeur qui n'est pas modifiée par une telle transformation
est un invariant de Lorentz ou scalaire de Lorentz. L'intervalle entre deux événements est un invariant de Lorentz.
2.3.2 Composition des vitesses
Le vecteur vitesse n'est pas un invariant de Lorentz. La loi de transformation du
vecteur vitesse û = ~; dans un référentiel fixe 'R en V' = ~'7, dans un référentiel 'R' en
mouvement rectiligne uniforme à la vitesse V= Vïlx se détermine en différentiant la
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2.3. Relativité restreinte
La rapidité joue un rôle impo1tant d'un point de vue expérimenta] car elle peut s'approximer par un critère géométrique.
L'intervalle s entre les deux événements (x 1 , t 1 ) et (x 2 , t 2 ) généralise la distance
euclidienne à l'espace-temps :
L'intervalle est une grandeur indépendante du référentiel :
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= c 2 (t1 - t2) 2 - (x1 - x2) 2 - (y1 - Y2) 2 - (z1 - z2) 2
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(2.52)
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Si s 2 > 0, l'intervalle est dit du genre« temps» : les deux événements sont en causalité car une information peut passer du point 1 au point 2 avec une vitesse inférieure
à c. À l'inverse, si s 2 < 0, l'intervalle est dit du genre «espace» et les deux événements sont non causals car incapables d'échanger une information du fait de la
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Pour tout objet en mouvement à une vitesse v < c, on peut définir un référentiel
où l'objet est au repos. Les grandeurs /3, y et T/ sont ainsi définies dans un repère 'R
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f3 = ~·On pourra donc parler, par exemple, de la rapidité d'une pa1ticule relativiste.
Les seules transformations qui conservent l'intervalle sont, outre les transf01mations de Lorentz (ou boosts), les rotations d'espace, les translations et réflexions d'espace et les translations et réflexions temporelles. L'ensemble des ces symétries forme
le groupe de Lorentz-Poincaré. Dans une théorie relativiste, le principe de relativité
et la constance de la vitesse de la lumière se traduisent par l'invariance des lois de
la physique sur tout changement des coordonnées suivant une transformation de ce
groupe. De même, une grandeur qui n'est pas modifiée par une telle transformation
est un invariant de Lorentz ou scalaire de Lorentz. L'intervalle entre deux événements est un invariant de Lorentz.
2.3.2 Composition des vitesses
Le vecteur vitesse n'est pas un invariant de Lorentz. La loi de transformation du
vecteur vitesse û = ~; dans un référentiel fixe 'R en V' = ~'7, dans un référentiel 'R' en
mouvement rectiligne uniforme à la vitesse V= Vïlx se détermine en différentiant la
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