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Chapitre 2 • Notions de physique moderne
26
La dernière partie de ]'égalité indique simplement que ]'on choisit un système d'axes
te] que ï1x soit aligné avec la vitesse de déplacement.
La transformation la plus simple des coordonnées est la transformation de Galilée :
Tg('R.~'R') =
x = x- Vt
y'= y
z' = z
t' = t
x = x' + Vt
y= y'
z = z'
t = t'
Des considérations expérimentales ont conduit à supposer que les ondes électromagnétiques se propageaient à une vitesse finie et que cette vitesse était la même
dans tous les référentiels inertiels. En imposant cette condition supplémentaire, la
transformation la plus simple des coordonnées d'espace-temps est la transformation
de Lorentz:
Tt('R.~'R') =
avec:
x = y(x - f3ct)
y'= y
z' = z
et' = y(ct - f3x)
et T1('R.' ~'R.) =
V
1
f3 = - et y = ----;::::===
c
..J1 -132
x = y(x' + f3ct')
y= y'
z = z'
t = y(ct' + f3x')
(2.48)
Pour que y reste réel, le facteur f3 ne peut pas excéder 1. La vitesse c est donc la vitesse
maximale que peut atteindre un objet. C'est pourquoi un objet se déplaçant à cette
vitesse limite possède 1a même vitesse dans tous les référentiels. La transformation
de Lorentz couple J' espace et Je temps. L'une des conséquences 1es plus connues est
que le temps s'écoule plus vite dans le référentiel propre d'un observateur que dans
n'importe quel référentiel en mouvement.
Matriciellement la transformation de Lorentz s'écrit:
[
et' 1 et 1
[ y -yf3 0 01
X
1
X
-yf3 ')' 0 0
y' = ;\ Y avec J\ =
0 0 1 0 .
z'
z
0 0 01
Comme y 2 - (yf3)2 = 1 on peut définir la rapidité T/ par :
et ainsi
cosh 17 = y et sinh T/ = yf3 ~ tanh 17 = f3,
1 1 + f3
17 = tanh1 f3 = - ln--.
2 1 -/3
(2.49)
(2.50)
(2.51)