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2.2. Mécanique quantique
2.2.3 Différents points de vue
Si la fonction d'onde est connue au temps to, on peut la déterminer au temps t via
un opérateur d'évolution Û(t, to) : 11/J(t)) = Û(t, to) 11/J(to)). Cet opérateur doit être
unitaire, pour préserver la normalisation de la fonction d'onde. De plus, il doit vérifier
Û(t, t') = Û(t, t")Û(t", t'). Ces deux conditions imposent que û est un opérateur
hermitien:
Û(t, t) = Il = Û(t, t')Û(t', t) ~ Û(t, t')1 = û +(t, t') = Û(t', t).
(2.38)
Pour un système conservatif, l 'opérateur hamiltonien ne dépend pas explicitement du
temps et l'équation de Schrodinger peut s'intégrer:
i'H(t-10)
ifi(r- 1 1 )
11/J(t)) = e- ri 11/J(to)) ~ U(t, t') = e- ri •
(2.39)
Il existe plusieurs f01mulations équivalentes de la mécanique quantique.
• La représentation de Schrodinger est celle qui a été utilisée jusqu' ici. Les vecteurs 11/Js(t)) ont une évolution temporelle et les opérateurs sont indépendants du
temps. L'évolution temporelle de la fonction d' onde est donnée par l'équation de
Schrodinger ou par l'opérateur d'évolution: 11/Js (t)) = Û(to, t) 11/Js(to)).
• En représentation de Heisenberg, la dépendance temporelle est absorbée dans
les opérateurs. Les vecteurs d'état sont alors constants. La fonction d' onde n'a
plus de dépendance temporelle. L' opérateur d'évolution permet de définir un vecteur d 'état indépendant du temps 1 1/JH) = û +(t, to) 11/Js(t)). De même les opérateurs
deviennent :
(2.40)
L'équation de Schrodinger est remplacée par une équation donnant l'évolution
temporelle des opérateurs eux-mêmes. Si l'observable ne dépend pas explicitement du temps :
(2.41)
Cette expression est analogue à celle de la mécanique analytique, où le commutateur a remplacé les crochets de Poisson. En particulier, un invariant Î sera une
observable qui n'évolue pas dans le temps et donc qui commute avec l' opérateur
hamiltonien, soit [Î, if] =O.
• Enfin, une troisième représentation, la représentation d'interaction, est utile pour
décrire les problèmes de diffusion. On sépare le hamiltonien en un terme libre et
un terme d'interaction : 1t = ifo + il et on note Ûo l'opérateur d'évolution du
système libre. On pose alors pour un vecteur d'état et pour un opérateur :
ll/t1(t)) = ü;(t, to) 11/Js(t)), Ô1 = o;u, to)Ôs Ûo(t, to).
(2.42)
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2.2. Mécanique quantique
2.2.3 Différents points de vue
Si la fonction d'onde est connue au temps to, on peut la déterminer au temps t via
un opérateur d'évolution Û(t, to) : 11/J(t)) = Û(t, to) 11/J(to)). Cet opérateur doit être
unitaire, pour préserver la normalisation de la fonction d'onde. De plus, il doit vérifier
Û(t, t') = Û(t, t")Û(t", t'). Ces deux conditions imposent que û est un opérateur
hermitien:
Û(t, t) = Il = Û(t, t')Û(t', t) ~ Û(t, t')1 = û +(t, t') = Û(t', t).
(2.38)
Pour un système conservatif, l 'opérateur hamiltonien ne dépend pas explicitement du
temps et l'équation de Schrodinger peut s'intégrer:
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11/J(t)) = e- ri 11/J(to)) ~ U(t, t') = e- ri •
(2.39)
Il existe plusieurs f01mulations équivalentes de la mécanique quantique.
• La représentation de Schrodinger est celle qui a été utilisée jusqu' ici. Les vecteurs 11/Js(t)) ont une évolution temporelle et les opérateurs sont indépendants du
temps. L'évolution temporelle de la fonction d' onde est donnée par l'équation de
Schrodinger ou par l'opérateur d'évolution: 11/Js (t)) = Û(to, t) 11/Js(to)).
• En représentation de Heisenberg, la dépendance temporelle est absorbée dans
les opérateurs. Les vecteurs d'état sont alors constants. La fonction d' onde n'a
plus de dépendance temporelle. L' opérateur d'évolution permet de définir un vecteur d 'état indépendant du temps 1 1/JH) = û +(t, to) 11/Js(t)). De même les opérateurs
deviennent :
(2.40)
L'équation de Schrodinger est remplacée par une équation donnant l'évolution
temporelle des opérateurs eux-mêmes. Si l'observable ne dépend pas explicitement du temps :
(2.41)
Cette expression est analogue à celle de la mécanique analytique, où le commutateur a remplacé les crochets de Poisson. En particulier, un invariant Î sera une
observable qui n'évolue pas dans le temps et donc qui commute avec l' opérateur
hamiltonien, soit [Î, if] =O.
• Enfin, une troisième représentation, la représentation d'interaction, est utile pour
décrire les problèmes de diffusion. On sépare le hamiltonien en un terme libre et
un terme d'interaction : 1t = ifo + il et on note Ûo l'opérateur d'évolution du
système libre. On pose alors pour un vecteur d'état et pour un opérateur :
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