"O
0
c
::J
0
('\"')
T'-f
0
N
@
~
..c
Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 2 • Notions de physique moderne
22
Les inégalités d'Heisenberg peuvent s'interpréter comme l'impossibilité de définir
simultanément une valeur numérique pour les deux observables position et impulsion,
c'est-à-dire que les deux opérateurs ne sont pas diagonalisables simultanément.
On note lxo), l'état correspondant à la fonction d'onde
(x Il/!) = J l/f(x')ô(x - x')dx' = lf!(x).
(2.30)
Elle caractérise les coordonnées de l'état Il/!) dans la base de position. Dans cette
base, l'observable associée à une coordonnée de position xi est un opérateur Xi, qui
doit satisfaire :
(2.31)
pour n'importe quelle fonction d'onde. L'opérateur xi est donc l'opérateur de multiplication par la coordonnée xi.
Dans l'approche hamiltonienne, l'impulsion est le moment conjugué des coordonnées cartésiennes et satisfait aux crochets de Poisson (2.13). L'équivalent quantique
des crochets de Poisson doit s'appliquer aux opérateurs et vérifier les mêmes propriétés de commutation. Le commutateur de deux opérateurs  et Ê,
[Â, s] = Âs - sÂ,
c2.32)
satisfait ces conditions. On postule alors la relation de quantification canonique :
[.xi, x.i] = [fti, P.i] = o, [.xi, P.i] = inôiJ.
(2.33)
Par ailleurs, le commutateur [.X, fx ] appliqué à un état quelconque Il/!) donne :
[
X, i.] ll/f) = X ôll/f) _ Ôxll/f) = - ll/f) .
ôx
ôx
ôx
(2.34)
On en déduit que 1 'opérateur d'impulsion est :
Pi = -in
8
8 , jJ = -inV.
Xi
(2.35)
De plus, par analogie avec les équations de Hamilton :
ail Ô,_
, ÔÔ
A
,d
- - = -p =-in--~ 1{ = zn-.
ôx
ôt
ôtôx
dt
(2.36)
On associe à l'énergie totale (hamiltonien) l'opérateur de dérivation temporelle. La
2
quantification de l'équation classique : 1i = ;,n + V donne l'équation d'évolution
d'un système quantique non relativiste, l'équation de Schrodinger:
"2
ô
t2
A
p
A
fL
-+2
A
1i = 2
m + V~ in ôt Il/!) = - 2
m \1 Il/!)+ V Il/!) .
(2.37)
0
c
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Ol
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>a.
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Chapitre 2 • Notions de physique moderne
22
Les inégalités d'Heisenberg peuvent s'interpréter comme l'impossibilité de définir
simultanément une valeur numérique pour les deux observables position et impulsion,
c'est-à-dire que les deux opérateurs ne sont pas diagonalisables simultanément.
On note lxo), l'état correspondant à la fonction d'onde
(x Il/!) = J l/f(x')ô(x - x')dx' = lf!(x).
(2.30)
Elle caractérise les coordonnées de l'état Il/!) dans la base de position. Dans cette
base, l'observable associée à une coordonnée de position xi est un opérateur Xi, qui
doit satisfaire :
(2.31)
pour n'importe quelle fonction d'onde. L'opérateur xi est donc l'opérateur de multiplication par la coordonnée xi.
Dans l'approche hamiltonienne, l'impulsion est le moment conjugué des coordonnées cartésiennes et satisfait aux crochets de Poisson (2.13). L'équivalent quantique
des crochets de Poisson doit s'appliquer aux opérateurs et vérifier les mêmes propriétés de commutation. Le commutateur de deux opérateurs  et Ê,
[Â, s] = Âs - sÂ,
c2.32)
satisfait ces conditions. On postule alors la relation de quantification canonique :
[.xi, x.i] = [fti, P.i] = o, [.xi, P.i] = inôiJ.
(2.33)
Par ailleurs, le commutateur [.X, fx ] appliqué à un état quelconque Il/!) donne :
[
X, i.] ll/f) = X ôll/f) _ Ôxll/f) = - ll/f) .
ôx
ôx
ôx
(2.34)
On en déduit que 1 'opérateur d'impulsion est :
Pi = -in
8
8 , jJ = -inV.
Xi
(2.35)
De plus, par analogie avec les équations de Hamilton :
ail Ô,_
, ÔÔ
A
,d
- - = -p =-in--~ 1{ = zn-.
ôx
ôt
ôtôx
dt
(2.36)
On associe à l'énergie totale (hamiltonien) l'opérateur de dérivation temporelle. La
2
quantification de l'équation classique : 1i = ;,n + V donne l'équation d'évolution
d'un système quantique non relativiste, l'équation de Schrodinger:
"2
ô
t2
A
p
A
fL
-+2
A
1i = 2
m + V~ in ôt Il/!) = - 2
m \1 Il/!)+ V Il/!) .
(2.37)