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2.2. Mécanique quantique
d'une onde complexe l/f(x, t) qui est associée à la densité de probabilité de présence
au point x définie par sa norme :
P(X) = l/J*(x, t)l/f(x, t),
(2.24)
avec pour condition de normalisation :
J l/J*(x, t)l/f(x, t)dx = i.
(2.25)
La position d' une particule n'est plus c1airement définie. La carré de la fonction
d'onde étant une densité de probabilité, on peut définir pour la position sa valeur
moyenne (x) et sa variance !l.X2 . De même, l'impulsion ne peut être caractérisée que
par une valeur moyenne et une variance !l.p
2 . Un résultat fondamental de la mécanique quantique montre qu'il est impossible de mesurer simultanément avec précision ]'impulsion et 1a position d' un objet. C' est 1'inéga1ité d' Heisenberg :
!l.x!l.p > n.
(2.26)
Une inégalité similaire apparaît entre la précision de la mesure d'une énergie et le
temps de mesure :
!l.E!l.t > n.
(2.27)
2.2.2 Observables et opérateurs
L'ensemble des fonctions satisfaisant aux propriétés mathématiques de la fonction
d'onde forme un espace vectoriel de dimension infinie : un espace de Hilbert. Une
fonction d' onde l/f(x , t) est associée à un vecteur de cet espace noté 1 1/J). Le produit
vectoriel dans l' espace de Hilbert est défini par :
r+oo
( 00
L' un des postulats de la mécanique quantique est qu' une observable physique 0
(position, impulsion, énergie, ... ) n'est plus une grandeur numérique mais un opérateur hermitien Ô agissant sur l'espace de Hilbert
3 . Seuls les états propres de l' opérateur ont une valeur numérique de l'observable bien définie. Un opérateur peut être
caractérisé par ces éléments de matrice dans une base {l'Pk)} de l'espace de Hilbert :
(2.29)
3. Dans les chapitres suivants, on utilisera simplement la notation 0 plutôt que Ô pour un opérateur, s' il
n'y a pas d' ambiguïté.
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au point x définie par sa norme :
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(2.24)
avec pour condition de normalisation :
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La position d' une particule n'est plus c1airement définie. La carré de la fonction
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moyenne (x) et sa variance !l.X2 . De même, l'impulsion ne peut être caractérisée que
par une valeur moyenne et une variance !l.p
2 . Un résultat fondamental de la mécanique quantique montre qu'il est impossible de mesurer simultanément avec précision ]'impulsion et 1a position d' un objet. C' est 1'inéga1ité d' Heisenberg :
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(2.26)
Une inégalité similaire apparaît entre la précision de la mesure d'une énergie et le
temps de mesure :
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(2.27)
2.2.2 Observables et opérateurs
L'ensemble des fonctions satisfaisant aux propriétés mathématiques de la fonction
d'onde forme un espace vectoriel de dimension infinie : un espace de Hilbert. Une
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3 . Seuls les états propres de l' opérateur ont une valeur numérique de l'observable bien définie. Un opérateur peut être
caractérisé par ces éléments de matrice dans une base {l'Pk)} de l'espace de Hilbert :
(2.29)
3. Dans les chapitres suivants, on utilisera simplement la notation 0 plutôt que Ô pour un opérateur, s' il
n'y a pas d' ambiguïté.
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