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2.1. Mécanique analytique
On en déduit que la quantité :
1 = ().[, oqa
aq_a oœ
(2.17)
est un invariant. D'après l'équation (2.11), la formulation d' une telle invariance se
traduit sous la forme {/, H} = O. En explicitant les composantes des variables q,
l'invariant devient :
I = ~ oL oqf.
i oqf oœ
Le lagrangien classique est de la forme :
1
L = E(q) - V(q) = 2
m(x2 + y
2 + z
2 ) - V(q).
Après transformation le lagrangien devient :
L'invariant associé aux translations est le vecteur :
L = ().[, axa + ().[, oyo: + ().[, ozo:
X
()j!t OŒx ayo: OŒx azo: OŒx
1
= oL ax:x + oL oya + oL aza
y
axx OŒy a-ya OŒy azo: OŒy
17 = oL ax:x + oL ayo: + oL azo: .
~
axx OŒz a-ya OŒz ()zet OŒz
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
En calculant les dérivées des coordonnées relativement aux paramètres, on obtient :
l - ().[,
X -
OXfY
1
ou encore:
1
_ oL
z - ozœ'
(2.22)
(2.23)
L'invariance du lagrangien sous les translations d' espace est associée à la conservation de l' impulsion.
En physique des particules, on s'attachera à construire le lagrangien du système
en lui imposant certaines symétries. À chaque symétrie imposée au système, de nouvelles grandeurs conservées s'ajouteront au modèle. En plus des symétries d' espacetemps (translations, rotations, transformation de Lorentz), on ajoutera des symétries
internes qui permettront d'introduire les interactions entre fermions. Dans le cas de
l'électromagnétisme, les grandeurs conservées associées à la symétrie interne seront
la charge et le courant.
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