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T"-f
0
N
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Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 2 • Notions de physique moderne
18
où on introduit le crochet de Poisson de deux paramètres :
ou ou
ou ou
{u, u} = fJq fJp - fJq fJp.
(2.12)
Une grandeur conservée doit donc satisfaire {A, H} = O. C' est notamment le cas du
hamiltonien : l'énergie totale se conserve, résultat bien connu. Le crochet de Poisson
est un opérateur antisymétrique, qui jouera un rôle important lors du passage à la
mécanique quantique. En particulier, on retiendra les propriétés suivantes :
(2.13)
Dans ces dernières relations, on a spécifiquement explicité les indices des différentes
coordonnées.
2.1.3 Théorème de Noether
Les constatations expérimentales ont souvent mis en évidence des grandeurs physiques qui restent inchangées lors de l'évolution du système étudié (énergie, impulsion, moment cinétique, quantité de matière, ... ). C' est ainsi que les principales théories physiques ont été construites, en cherchant les équations du mouvement permettant de reproduire ces invariants. Emmy Noether démontra en 1918 que l'existence
de chaque grandeur conservée était équivalente à l'invariance de l'action (et donc du
lagrangien) sous une classe de transformations continues donnée. Une transformation continue des coordonnées q est un changement de variable de (q, q) vers (qœ , qœ )
dépendant continûment d'un ou plusieurs paramètres réels œ, c'est-à-dire que:
f : œ ~ qœ , avec q
0 = q
est une fonction continue.
Les translations dans l'espace qui transforment (x, y, z) en (x+œx, y+œy, z+œz) sont
un exemple de transformation continue de paramètres (œx, œy, Œ z). Si le lagrangien est
invariant sous une telle transformation, c'est une symétrie du système. Cette symétrie
se traduit formellement par :
L(q, q) = L(qa, it) quel que soit œ,
(2.14)
ou encore d.l(~:.il:r) = O. En différenciant le lagrangien, il vient :
dL
oL oqa fJL oqa
- = - - + - -
dœ
[Jqa fJœ
aq_a fJœ '
(2.15)
soit en introduisant l'équation d'Euler-Lagrange:
dL = !!:... fJL fJqa + fJL !!:... fJqa = !!:... ( fJL fJqa ) =o.
dœ
dt fJqœ fJœ
fJqœ dt fJœ
dt [Jq_a fJœ
(2.16)
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Chapitre 2 • Notions de physique moderne
18
où on introduit le crochet de Poisson de deux paramètres :
ou ou
ou ou
{u, u} = fJq fJp - fJq fJp.
(2.12)
Une grandeur conservée doit donc satisfaire {A, H} = O. C' est notamment le cas du
hamiltonien : l'énergie totale se conserve, résultat bien connu. Le crochet de Poisson
est un opérateur antisymétrique, qui jouera un rôle important lors du passage à la
mécanique quantique. En particulier, on retiendra les propriétés suivantes :
(2.13)
Dans ces dernières relations, on a spécifiquement explicité les indices des différentes
coordonnées.
2.1.3 Théorème de Noether
Les constatations expérimentales ont souvent mis en évidence des grandeurs physiques qui restent inchangées lors de l'évolution du système étudié (énergie, impulsion, moment cinétique, quantité de matière, ... ). C' est ainsi que les principales théories physiques ont été construites, en cherchant les équations du mouvement permettant de reproduire ces invariants. Emmy Noether démontra en 1918 que l'existence
de chaque grandeur conservée était équivalente à l'invariance de l'action (et donc du
lagrangien) sous une classe de transformations continues donnée. Une transformation continue des coordonnées q est un changement de variable de (q, q) vers (qœ , qœ )
dépendant continûment d'un ou plusieurs paramètres réels œ, c'est-à-dire que:
f : œ ~ qœ , avec q
0 = q
est une fonction continue.
Les translations dans l'espace qui transforment (x, y, z) en (x+œx, y+œy, z+œz) sont
un exemple de transformation continue de paramètres (œx, œy, Œ z). Si le lagrangien est
invariant sous une telle transformation, c'est une symétrie du système. Cette symétrie
se traduit formellement par :
L(q, q) = L(qa, it) quel que soit œ,
(2.14)
ou encore d.l(~:.il:r) = O. En différenciant le lagrangien, il vient :
dL
oL oqa fJL oqa
- = - - + - -
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(2.15)
soit en introduisant l'équation d'Euler-Lagrange:
dL = !!:... fJL fJqa + fJL !!:... fJqa = !!:... ( fJL fJqa ) =o.
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(2.16)