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2.1. Mécanique analytique
2.1.2 Hamiltonien et crochets de Poisson
Plutôt que les vitesses q, on utilise parfois les moments conjugués : p = ~f. L'équation d'Euler-Lagrange est alors :
dp oL
=
dt
oq ·
(2.4)
Pour un système conservatif en coordonnées cartésiennes, on a ~~ = - ~~ et l' équation d'Euler-Lagrange correspond à l'équation fondamentale de la dynamique. Le
moment conjugué de x est donc le vecteur impulsion. Ce changement de variable de
q vers p s'opère au moyen d'une transformation de Legendre du lagrangien : c'est le
hamiltonien. Il est donc définit par :
1i(q, p) = pq - L.
(2.5)
On montre que si L = E - U , le hamiltonien correspond à l'énergie totale du système,
soit 1{ = E + U. En différenciant le hamiltonien :
d1i = qdp + pdq - dL,
(2.6)
avec:
d r
oLd
oLd.
·d
d.
.l.., = oq q + oq q = P q + P q,
(2.7)
soit finalement :
d1{ = qdp - pdq.
(2.8)
Par ailleurs, l' expression générale de cette différentielle est :
o1i
o1i
d1i = op dp + oq dq.
(2.9)
En identifiant les termes, on en déduit un système d'équations couplées, les équations
de Hamilton, qui sont équivalentes à l'équation du second ordre d'Euler-Lagrange :
(2.10)
Une observable JI(q, p, t) est une grandeur conservée si elle reste constante au
cours du temps, soit ctt, = O. La dérivée totale par rapport au temps est donnée par :
dJI
o.Jl
o.Jl
o.Jl
-
= - q + -p+-dt
dt
oq
op
ot
= o.Jl o1i _ o.Jl o1i + o.Jl dt
oq op
op oq
ot
d.Jl
o.Jl
-
= {A, H } +-;:;-dt,
dt
ut
(2.11)
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