Chapitre 2 • Notions de physique moderne
q
t
Figure 2. 1- Principe de moindre action: parmi toutes les trajectoires q(t) possibles
entre l'état intial q; et l'état final qf, la trajectoire physique est celle qui minimise
l'action.
ôS = 0, soit:
0 = ôS = S(q + ôq, q + ôq) - S(q, q)
I
tf
=
11
(L(q + ôq, q + ôq) - L(q, q))dt
I
'1 ( ôL
ôL )
= t,
ôq ôq + ôq ôq dt
I
tf ôL
[ôL lf J I' J d (ôL)
=
- ôqdt + - . ôq -
- - . ôqdt
11
ôq
ôq
t;
ti
dt ôq
~
=0
1
1
1 ( ôL d ( ôL ))
0 =
-
- - - . ôqdt.
t,
ôq dt ôq
(2.2)
'O
g
Cette relation doit être satisfaite pour toute fonction ôq(t), ce qui ne peut être le cas
::J
o
que s1:
('\"')
T"-f
0
N
@
~
ôL . _ !: (ôL . ) = O.
ôq dt ôq
(2.3)
'§i
L' équation ainsi obtenue est l'équation d'Euler-Lagrange, qui est l'équation du mouï::::
~
vement. Pour un point matériel, le lagrangien s'interprète comme L(q, q) = E(q) -
0
u
U(q). Le terme E(q) est l'énergie cinétique qui ne dépend que des vitesses et qui
16
correspond au lagrangien libre (sans interaction) du système. L'isotropie de l'espace
impose que E ne dépende que de la norme de la vitesse, soit E oc ë/ . Le terme U(q)
est l'énergie potentielle et ne dépend que des coordonnées, ce qui implique que l'interaction entre deux points est instantanée. Ceci ne sera plus possible en mécanique
relativiste où la vitesse maximale d'une interaction est finie.