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Annexe B • Corrigés des exercices
En utlisant le lagrangien de Dirac :
L = lir/'ôµl/t - m/ï;l/t ~ E
4 = [ôµ][l/t ]
2 = E[l/t J2,
d'où la dimension du champ spinoriel [!/t] = E~ .
Enfin, Je lagrangien de Maxwell donne :
L = -~ (ôµAv - ôvAµ) (~Av - ônvAµ) ~ E
4 = [ôµ]2[Aµ]
2 = E
2 [Aµ]2 ·
Comme le champ scalaire, le champ vectoriel à la dimension d'une énergie
[Aµ]= E.
b) Les produits dans le langrangien ne peuvent dépasser la dimension de la densité
lagrangienne, soit E
4 . Les seuls termes invariants de jauge pour un champ scalaire
sont donc ip 2 et ip 4 .
c) Les combinaisons de champs possibles sont :
• scalaires seuls : 2 scalaires (m
2 ip
2 , terme de masse), 3 scalaires (autocouplage à
3 bosons de Higgs), 4 scalaires (Aip
4 : autocouplage à 4 bosons de Higgs),
• spineurs seuls : 2 spineurs (m/j;lft, terme de masse),
• vecteurs seuls: 2 vecteurs (terme de masse), 3 et 4 vecteurs (termes d'autocouplage des gluons),
• scalaire-fermion : 2 spineurs et 1 scalaire (A/jlftip, couplage de Yukawa),
• scalaire-vecteur: 1 scalaire et 2 vecteurs (AµAµt.p, couplage entre Higgs et boson
de jauge), 2 scalaires et 2 vecteurs,
• vecteur-spineur: 2 spineurs et 1 vecteur (ljryµAµl/t, couplage de jauge).
Les autres combinaisons dimensionnellement autorisées violent la conservation
du spin (un spineur et deux vecteurs, par exemple) ou ne permettent pas de
construire un scalaire de Lorentz (un scalaire et un vecteur).
mJ Équations de Maxwell
- ~Jl
- ~Jl
1
µv
LQED = l/t(iy Ôµ - m)lft- glfty l/tAµ - 4FµvF .
On rappelle que les champs et leurs dérivées se comportent comme des variables
indépendantes .
a) Seul Je terme d'interaction -g/jyµl/JAµ dépend du champ Aµ- On a alors :
ôL
-
-
= -glftt'l/t = f .
ôAµ
b) Les dérivées n'interviennent que dans le terme -iFµvFµv:
ôL
_ -~
ô
F Fµ v
(
)
- 4 (
) µv
.
Ô ÔµAv
Ô ÔµAv
150