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Chapitre 5
En réintroduisant les conventions de sommation implicite sur l'indiceµ:
L'intégrale étant nulle pour tout ô<.p, on en déduit l'équation d'Euler-Lagrange pour
un champ:
16 Lagrangien de Klein-Gordon
En n'utilisant que les coordonées covariantes, le lagrangien de Klein-Gordon est:
1 (
2 2)
LKG = 2 80<.p80<.p - 8 1<.p8 1<.p - 82<.p82<.p - 83<.p83<.p - m <.p .
a) En traitement séparément la coordonée temporelle :
• Pour V = 0 : 8(~~cp) = 80<.p = a
0
<.p .
• Pour V = n = 1, 2, 3 : 8(~1;cp) = - Bn<.p = an<.p.
D ' ' 1 , 1 fi al . a.L - av
ou e resu tat n . acavcp) -
<.p.
b) On calcule les différents termes de l'équation d'Euler-Lagrange:
• ~; = - m2<.p
• Bµa<~;cp) = 8µ()11<.p.
D'où l'équation du mouvement:
-m 2 <.p - 8µ811<.p = 0 => (8µ811 + m
2 )<.p = O.
Comme attendu, on retrouve l'équation de Klein-Gordon.
CHAPITRE 5
aJ Analyse dimensionnelle
Dans le système d'unités naturelles, toutes les dimensions s'expriment en puissance
de l'énergie. Ainsi, temps et espace sont homogènes à l'inverse d'une énergie :
T = L = E- 1 •
a) La dimension d'une densité lagrangienne est[.[] = EL- 3 = E 4 . En partant du
lagrangien de Klein-Gordon :
L = oµ<.p8µ<.p - m
2 <.p
2 => E
4
= [oµ<.p811<.p] = [oµf[<.p]2 ,
avec [8µ] = [ a~P ] = E. On en déduit la dimension d'un champ scalaire [<.p] = E.
On vérifie que la masse m est également homogène à une énergie.
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