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Annexe B • Corrigés des exercices
et finalement le hamiltonien s'écrit en termes d' opérateurs de création et d'annihilation :
CHAPITRE 4
Ill Équation d'Euler-Lagrange
Le lagrangien dépend explicitement du champ 'P et des quatre dérivées Ôµ'P· Le principe de moindre action devient alors :
ôS = f f f f d4xL(ip + ôip , ôµ'P + ôôµip) - L(ip, ôµip) =o.
En explicitant toutes les coodonnées :
x~) x~f) x~) xV)( ô.[
ô.[
ô.[
O = (
(
(
(
-ôip + - -ôôo'P + - -ôô1ip
J x ôôoip
ÔÔ 1 'P
0
'J
2
3
ôL
ôL
)
+ ÔÔ2ip ÔÔ2ip + ÔÔ3ip ÔÔ3ip d4 x .
En intégrant par partie chaque terme 6 ~~ÔÔµ'P relativement à xµ , il vient:
Ü = f f f f ~~ ôipd4 X
L
x~f)Lx~)LxV)[ ô.[ lx~) 1 2 3 LLLJ ô.[ r4
+
- -ôip
dx dx dx -
ôo - -ôipa ·x
~ ~ ~ ~'P ~
~'P
L
x~Lx~'LxV'[ ô.[ lx~f)
LLLJ ô.[
+
- -ôip
dx 0 dx 2 dx 3 -
ô 1 - -ôipd4x
X~)
X~)
X~i) ÔÔ) ip
x< 1 )
ÔÔ) ip
'
.)
1
L
x~'Lx~flLxV'[ ô.[ lx~) 0 1 3 LLLJ ô.[ r4
+
--ôip
dxdxdx -
ô2--ôipa·x
x 1
î
ÔÔ2ip
x(i)
ÔÔ2ip
0
1
3
·1
L
x~Lx<(lLx~[ ô.[ l x<[> 0 1 2 LLLJ ô.[ r4
+
--ôip
dx dx dx -
Ô3--ôipa · x.
~ ~ ~ ~'P ~
~'P
Les états initiaux et finaux étant entièrement définis, soit :
/f)
ôip(x(i) ) = ôip(x(f)) = 0 =::} rry [ ôL Ôipl µ d 3 X = o.
µ
µ
JJJ ÔÔµ'P x(i)
µ
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