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Chapitre 3
De même, [ai, a j L = O. Pour le dernier commutateur, le calcul aboutit à :
[a,, aj]. = ( ~;œ~,am) ( ~ œn;a~) ± ( ~ œ.;a~) ( ~;œ~,am)
= I a:/Ynjama~ ± I a:iŒnja~ am
m,n
m,n
m,n
= I a:.iŒmJ .
m
L'orthonormalité des deux bases permet alors d'écrire:
Ôij = ( lPi l' P1) = I ( 1n,n
m,n
m
et finalement [a:, a; t = Ôijn .
l!J Hamiltonien en opérateurs création et annihilation
a) L'état à deux particules est donné par la fonction d'onde antisymétrique :
i/laf3(11, l2) = ~ ['l'hÏ)rpp(xÏ) - rpa(xÏ)rpp(xï)j.
b) Comme { s'écrivent :
c)
Haf3 = ( 1/1 a,B IBI 1/1 af3) = J l/!;r/3(x1, x2)H(x1, x2)1/!(X1, x2)dx1 dx2
= ~ J [ x [f(x,) + î(x2) + û(x,, x2)]
x [ Finalement, l'expression précédente devient :
1
H a,s = laa + t13,s + 2 (ua,B,a,B - Ua,B,,Ba + U,Ba,,Ba - U,Ba,a{3 ) ·
Pour faire apparaître les opérateurs création et annihilation, on introduit Je nombre
d'occupations nk dans cette expression. Pour 1es états fermioniques na = n 13 = l
et tous 1es autres nk sont nuls. On a alors :
( l/!a/31 H ll/!af3) = I nktkk + ~ I (ukl,kl - UkL,Lk) nknl,
k
k,l
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