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Chapitre 5
En explicitant les sommes, il vient :
Le calcul de la dérivée n' est pertinent que pourµ if:. v, puisque Fµµ = Fµµ = O.
Seuls les termes de la somme contenant BµA v ou ~Av auront une dérivée non
nulle:
BL - 1 a ( .::l !:lJ.1 V .::l .::iv µ .::l .::iu V)
(
)
- - - (
) 2uµAvu A - 2uµAvu A - 2uvAµu A .
o BµA v
4 o BµAv
Faire monter ou decendre les indices µ et v peut changer le signe, pour ne pas
détailler les cas spécifiques, on notera simplement oµAv = koµAv. Ainsi:
BµAv~Av = k(BµAv)
2
==> ô(ô~Av) BµAv~Av = 2koµAv = 2~Av ,
BvAµ~A v = kovAµBµAv ==> ô(ô~Av) BvAµ~A v = kovAµ =av Aµ,
a(a:A,,)BµA vBvAµ =av Aµ,
soit finalement :
c) En regroupant les deux questions pécédentes, il vient :
d) La matrice y 0 vérifie y 0 y 0 = J . On a alors :
e)
On a vu au chapitre 3 que ijl+ijl pouvait s'interpréter comme l'opérateur densité de
particules.
En l'absence d' interaction, l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ électromagnétique donne les équations de Maxwell sans source :
a
µv 0
{ v .Ê = o,
µF = ~ V Tt= ôË
/\ /5
Ôf •
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