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Annexe B • Corrigés des exercices
b) De la même manière, on trouve que les invariants associés à une rotation autour
des axes x et y sont respectivement J x et l y. Par extension, le moment cinétique
est l'invariant associé à une rotation d'espace quelconque.
gJ Représentation d'interaction
a) En posant to = 0, on a :
Û(t, 0) = Û(t) = e- f,1tt et Ûo(t, 0) = Ûo(t) = e- fiilor.
Par définition :
lt/11(t)) = û;(t) lt/ls(t)) = û;(t)Û(t) lt/IH) =} lt/11(t)) = e f,1to re-fi1tr lt/IH).
Les opérateurs if 0 et 1f ne commutent pas et on ne peut pas regrouper les deux
exponentielles.
b) En dérivant lt/11(t)) par rapport au temps:
~ lt/11(t)) = ~ (e fi 110 e- fi1tr) lt/IH)
ai
ai
= ~ (1foe fi1toe- ;(Ht _ efi11o1f e- fi1tt ) lt/IH)
l
j 11. ( A
A
)
j itt
= -neii o 1{ -1fo e-fi lt/JH) ·
Finalement, en utilisant 1f -11 0 = 1' et û; Ûo = l , il vient:
in :t lt/11(t)) = e fi 110 1'e- fi 110 efi 110 e- f,1tor ltf!H) = rV1 lt/11(t)),
qui est l'équation d'évolution d'un état en représentation d' interaction.
c) Un opérateur en représentation d'interaction se déduit de l'opérateur en représentation de Schrodinger (indépendant du temps) par :
A
A +
A
A
irfl.t"
irfl.1
01 = U 0 Os Uo = efi 0 Ose- ri o .
En dérivant Ô 1 par rapport au temps :
a A i ( A j 11. t A i 11. t i 11. t A A j 11. ')
-01 = - 1foefi o Ose-ri o - en o Os1foe-ri o
ar
ri
= ~ (1foe fi1tor Ôse- f,ifor _ efiilor Ôse- fi1tot1f 0 )
= ~ (1loô1 - Ô{Ho).
D'où le résultat final :
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