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8.2. Mécanisme d'oscillation
8.2.2 Évolution temporelle
L' évolution des états lv 1 (1, t)) et lv2(.X, t)) dans le temps est donnée par l'équation de
Schrodinger :
1i lvi(x, t)) = Ei lvi(x, t)) = in :t lvi(x, t))
qui admet des solutions en ondes stationnaires :
vi(x, t) = e- Œ;t eip'.i' lvi(O)).
L' évolution tempore11e des états d'interaction à l'impulsion ff est alors :
d'où finaJement:
lve(X, t)) = eip'.1 [(c2e- Œ1t + s2e-Œ it) lve(Ü))
+cs(e-iEit - e-iEit) lvx(û))],
lvx(x,t)) = eW 1 [cs (e-iE 2 t -e- Π1 ')lve(O))
+ (s2e-Œ1t + c2e- Œ2t) lvx(O))] .
(8.11)
(8. 12)
(8.13)
Un neutrino électronique est émis au temps t = 0, au point x = 0 et avec une
impulsion p. L'état initial dans la base d'interaction est donc lve(O)) = 1 et lvx(O)) =O.
Après un temps t, le neutrino étant ultrarelativiste, la distance parcourue est alors x ~
et= t en unités naturelles. Les fonctions d'onde des états d'interaction deviennent:
lve(x, t)) = eiif.i'(c2e-iE1t + s2e-iE2t) = eiif.1(c2e-iE 1 x + s2e-Π2 x),
lvxCx, t)) = eiif.i'cs(e-Œ2t - e-iEit) = eiif.1cs(e-iE2x - e-Œix) .
La probabilité de détecter un Vx à la distance x du point d'émission est alors :
( Vx(X>lvx(X)) = c2 s21e-iE2x - e-iE1 x12
= c2 s2 ( 2 _ e- i(E1 - E2 )x _ ei(E1 - E2 )x)
4
2 2 1-cos(Ei - E1)x
= c s - - - - - - -
2
/
1
)
. 2
. 2 (E1 - E2) X
\ vx(X) vx(X) = sm 28 sm
2
·
(8.14)
121