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3 • Phénomènes collectifs
les ions infiniment lourds, donc décrits par une densité homogène et imperturbable.
Afin de résoudre cette équation nous supposerons que l’énergie d’agitation thermique
domine l’énergie potentielle d’interaction : kT ef. Sous cette hypothèse, nous
pouvons effectuer un développement limité du terme source non-linéaire et obtenir
l’équation de Poisson-Boltzmann linéarisée décrivant la structure électronique au
voisinage d’un ion.
1
r 2
d
dr
r
2 d
dr
f −
f
l 2
D
= −Ze
d (r )
4p´ 0 r 2
Le potentiel électrostatique au voisinage de l’ion est donc donné par la solution :
Vide : f(r ) =
Ze
4p´ 0 r
Plasma : f(r ) =
Ze exp
−
r
lD
4p´ 0 r
(3.8)
Lorsque r > l D on a ef/kT < 1/nl
3
D , l’hypothèse de linéarisation est donc valide
si le nombre nl
3
D 1, c’est-à-dire si le nombre de particules dans la sphère de
Debye (r < l D ) autour de l’ion est grand devant un. Considérons des sphères de
rayon l D centrées sur chaque ion du plasma. À l’extérieur de chacune de ces sphères
le plasma est quasi-neutre car le potentiel est exponentiellement faible comme le
démontre la solution précédente. Ce résultat est valable si le nombre d’électrons
dans chaque sphère de Debye est très grand devant 1, nl
3
D 1. Cette condition
est semblable à la définition des plasmas idéaux donnée dans le chapitre précédent,
J
−1
≈ ´ 0 n
−
1
3 kT /e
2
1 → nl
3
D 1. Lorsque r < l D , l’hypothèse de linéarisation n’est plus valide.
En conclusion, il faut noter que cette structuration du plasma en sphères de Debye
n’a pas un caractère statique et ordonné mais une nature dynamique et statistique, un
électron participant à plusieurs sphères de Debye et possédant lui-même une sphère
ionique tout en évoluant dans l’espace sous l’effet de l’agitation thermique. Le statut
physique de la longueur de Debye est celui d’une longueur de corrélation des fluctuations de densité, de même, la fréquence de Langmuir est l’inverse d’un temps de
corrélation caractéristique des fluctuations de densité.
3.3 ÉCRANTAGE MAGNÉTIQUE
3.3.1 Longueur de London
Après avoir étudié et caractérisé les réponses électriques, il convient maintenant
d’étudier et de caractériser le comportement d’un plasma en réponse à une perturbation magnétique. Dans ce cas aussi les effets vont s’opposer aux causes qui leur
donnent naissance et les charges libres d’un plasma vont avoir un comportement
diamagnétique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3 • Phénomènes collectifs
les ions infiniment lourds, donc décrits par une densité homogène et imperturbable.
Afin de résoudre cette équation nous supposerons que l’énergie d’agitation thermique
domine l’énergie potentielle d’interaction : kT ef. Sous cette hypothèse, nous
pouvons effectuer un développement limité du terme source non-linéaire et obtenir
l’équation de Poisson-Boltzmann linéarisée décrivant la structure électronique au
voisinage d’un ion.
1
r 2
d
dr
r
2 d
dr
f −
f
l 2
D
= −Ze
d (r )
4p´ 0 r 2
Le potentiel électrostatique au voisinage de l’ion est donc donné par la solution :
Vide : f(r ) =
Ze
4p´ 0 r
Plasma : f(r ) =
Ze exp
−
r
lD
4p´ 0 r
(3.8)
Lorsque r > l D on a ef/kT < 1/nl
3
D , l’hypothèse de linéarisation est donc valide
si le nombre nl
3
D 1, c’est-à-dire si le nombre de particules dans la sphère de
Debye (r < l D ) autour de l’ion est grand devant un. Considérons des sphères de
rayon l D centrées sur chaque ion du plasma. À l’extérieur de chacune de ces sphères
le plasma est quasi-neutre car le potentiel est exponentiellement faible comme le
démontre la solution précédente. Ce résultat est valable si le nombre d’électrons
dans chaque sphère de Debye est très grand devant 1, nl
3
D 1. Cette condition
est semblable à la définition des plasmas idéaux donnée dans le chapitre précédent,
J
−1
≈ ´ 0 n
−
1
3 kT /e
2
1 → nl
3
D 1. Lorsque r < l D , l’hypothèse de linéarisation n’est plus valide.
En conclusion, il faut noter que cette structuration du plasma en sphères de Debye
n’a pas un caractère statique et ordonné mais une nature dynamique et statistique, un
électron participant à plusieurs sphères de Debye et possédant lui-même une sphère
ionique tout en évoluant dans l’espace sous l’effet de l’agitation thermique. Le statut
physique de la longueur de Debye est celui d’une longueur de corrélation des fluctuations de densité, de même, la fréquence de Langmuir est l’inverse d’un temps de
corrélation caractéristique des fluctuations de densité.
3.3 ÉCRANTAGE MAGNÉTIQUE
3.3.1 Longueur de London
Après avoir étudié et caractérisé les réponses électriques, il convient maintenant
d’étudier et de caractériser le comportement d’un plasma en réponse à une perturbation magnétique. Dans ce cas aussi les effets vont s’opposer aux causes qui leur
donnent naissance et les charges libres d’un plasma vont avoir un comportement
diamagnétique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit