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3 • Phénomènes collectifs
atténuée par l’agitation thermique qui va étaler les distributions ionique et électronique dans les minima et les maxima du potentiel. Le compromis entre ces tendances
à la minimalisation de l’énergie et à la maximalisation de l’entropie est obtenue pour
une distribution boltzmanienne de la densité.
Relation de Boltzmann : n e q e + n i q i = n 0 q e exp
−q e f
kT
+ n 0 q i exp
−q i f
kT
où q e = −q i = −e. Cette distribution d’équilibre peut être obtenue, soit à partir de
la mécanique statistique (2.21), soit à partir de la statique des fluides en considérant
la densité volumique de force de pression −∇P et la densité volumique de force
électrique −nq∇f dans le cadre d’un comportement isotherme P = nkT des deux
populations ionique et électronique. À l’équilibre ces deux densités de force ont une
résultante nulle :
dnkT
dx
+ nq
df
dx
= 0 → log n ∼ −qf/kT .
La solution de l’équation de Poisson avec un terme source non-linéaire du type Boltzmann se simplifie en introduisant des variables normalisées de position et le potentiel : f (x) → F (X ) où
F =
e
kT
f,
X =
2n 0 e 2
´ 0 kT
x
(3.6)
Ces grandeurs normalisées permettent une réécriture simplifiée de l’équation de
Poisson-Boltzmann. Cette équation est semblable à celle décrivant un mouvement
unidimensionnel dans un potentiel statique de type cosh. Elle admet donc une
intégrale première qui, compte tenu des conditions aux limites sur la dérivée du
potentiel, s’écrit :
d
2
F
d X 2 = sinh F →
dF
d X
2
= 2
cosh F − 1
Compte tenu de l’identité cosh F−1 = 2 sinh
2
F/2, cette dernière relation est ensuite
ramenée à deux quadratures :
dF/2 sinh
F/2
= ±
d X. Le choix du signe est
imposé par la contrainte de croissance ou de décroissance à partir de X = 0 selon le
signe de f 0 . Le résultat final est donné par :
ef
2kT
= log
1 + tanh
ef0
4kT
exp
−
2n0e 2
´0kT |x|
1 − tanh
ef0
4kT
exp
−
2n0e 2
´0kT |x|
≈
ef 0
2kT
exp
−
|x|
l D
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3 • Phénomènes collectifs
atténuée par l’agitation thermique qui va étaler les distributions ionique et électronique dans les minima et les maxima du potentiel. Le compromis entre ces tendances
à la minimalisation de l’énergie et à la maximalisation de l’entropie est obtenue pour
une distribution boltzmanienne de la densité.
Relation de Boltzmann : n e q e + n i q i = n 0 q e exp
−q e f
kT
+ n 0 q i exp
−q i f
kT
où q e = −q i = −e. Cette distribution d’équilibre peut être obtenue, soit à partir de
la mécanique statistique (2.21), soit à partir de la statique des fluides en considérant
la densité volumique de force de pression −∇P et la densité volumique de force
électrique −nq∇f dans le cadre d’un comportement isotherme P = nkT des deux
populations ionique et électronique. À l’équilibre ces deux densités de force ont une
résultante nulle :
dnkT
dx
+ nq
df
dx
= 0 → log n ∼ −qf/kT .
La solution de l’équation de Poisson avec un terme source non-linéaire du type Boltzmann se simplifie en introduisant des variables normalisées de position et le potentiel : f (x) → F (X ) où
F =
e
kT
f,
X =
2n 0 e 2
´ 0 kT
x
(3.6)
Ces grandeurs normalisées permettent une réécriture simplifiée de l’équation de
Poisson-Boltzmann. Cette équation est semblable à celle décrivant un mouvement
unidimensionnel dans un potentiel statique de type cosh. Elle admet donc une
intégrale première qui, compte tenu des conditions aux limites sur la dérivée du
potentiel, s’écrit :
d
2
F
d X 2 = sinh F →
dF
d X
2
= 2
cosh F − 1
Compte tenu de l’identité cosh F−1 = 2 sinh
2
F/2, cette dernière relation est ensuite
ramenée à deux quadratures :
dF/2 sinh
F/2
= ±
d X. Le choix du signe est
imposé par la contrainte de croissance ou de décroissance à partir de X = 0 selon le
signe de f 0 . Le résultat final est donné par :
ef
2kT
= log
1 + tanh
ef0
4kT
exp
−
2n0e 2
´0kT |x|
1 − tanh
ef0
4kT
exp
−
2n0e 2
´0kT |x|
≈
ef 0
2kT
exp
−
|x|
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