3.2 Écrantage électrique
83
Ces variables permettent de simplifier l’écriture de la relation de Poisson reliant
potentiel et charges. Cette relation est semblable à l’équation décrivant un mouvement unidimensionnel dans un potentiel statique et admet donc une intégrale première qui, compte tenu des conditions aux limites sur la dérivée du potentiel, s’écrit :
d
2
F
d X 2 =
1
√
1 + F
→
dF
d X
2
= 4
√
1 + F
Cette dernière équation s’intègre aisément et permet d’exprimer le potentiel en fonction de la distance à l’interface, le choix du signe étant dicté par la contrainte de
croissance ou de décroissance à partir de X = 0.
dF = ±2d X (1 + F)
1
4 → F(X ) =
1 −
3X
2
4
3 − 1
La longueur caractéristique l est donc donnée par X =
2
3
.
l =
V
3
2´ 0 m
N e 2 =
√
2
3
V
v p
(3.5)
Il est tentant de généraliser ce résultat au cas plus réaliste d’une distribution
thermique de vitesse en remplaçant V par la vitesse moyenne et en considérant la
longueur caractéristique ainsi obtenue comme une longueur d’écrantage au-delà
de laquelle les densités de charges ioniques et électroniques sont égales. Cette
conclusion est valide ; nous allons démontrer que la longueur ainsi obtenue, la
longueur de Debye, constitue effectivement la longueur d’écrantage d’un plasma
à l’équilibre thermodynamique, c’est-à-dire l’échelle de longueur en dessous de
laquelle la quasi-neutralité est brisée.
Considérons un plasma d’hydrogène, à l’équilibre thermodynamique, caractérisé par
une densité d’électrons n e (x) et une densité d’ions n i (x) ; à l’équilibre n e = n 0 = n i .
Ces deux populations sont maintenues à une température T , le plasma est infini,
globalement neutre et le potentiel électrique f étant uniforme peut être pris égal à
zéro. En x = 0, introduisons une électrode plane et infinie, parallèle aux plans y Oz.
Étudions les perturbations de potentiel et de densité lorsque cette électrode est portée
à un potentiel f 0 . Le potentiel f(x) en un point de coordonnées x vérifie l’équation
de Poisson :
Équation de Poisson :
d
2
f
dx 2 = −
n e (x)q e + n i (x)q i
´ 0
et satisfait aux conditions aux limites f(−∞) = f(+∞) = 0, df(−∞)/dx
= df(+∞)/dx = 0 (champ et potentiel nuls à l’infini), f(0) = f 0 .
En réponse au potentiel électrique les électrons vont avoir tendance à rechercher les
zones de potentiel fort et les ions les zones de potentiel faible. Cette tendance est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
83
Ces variables permettent de simplifier l’écriture de la relation de Poisson reliant
potentiel et charges. Cette relation est semblable à l’équation décrivant un mouvement unidimensionnel dans un potentiel statique et admet donc une intégrale première qui, compte tenu des conditions aux limites sur la dérivée du potentiel, s’écrit :
d
2
F
d X 2 =
1
√
1 + F
→
dF
d X
2
= 4
√
1 + F
Cette dernière équation s’intègre aisément et permet d’exprimer le potentiel en fonction de la distance à l’interface, le choix du signe étant dicté par la contrainte de
croissance ou de décroissance à partir de X = 0.
dF = ±2d X (1 + F)
1
4 → F(X ) =
1 −
3X
2
4
3 − 1
La longueur caractéristique l est donc donnée par X =
2
3
.
l =
V
3
2´ 0 m
N e 2 =
√
2
3
V
v p
(3.5)
Il est tentant de généraliser ce résultat au cas plus réaliste d’une distribution
thermique de vitesse en remplaçant V par la vitesse moyenne et en considérant la
longueur caractéristique ainsi obtenue comme une longueur d’écrantage au-delà
de laquelle les densités de charges ioniques et électroniques sont égales. Cette
conclusion est valide ; nous allons démontrer que la longueur ainsi obtenue, la
longueur de Debye, constitue effectivement la longueur d’écrantage d’un plasma
à l’équilibre thermodynamique, c’est-à-dire l’échelle de longueur en dessous de
laquelle la quasi-neutralité est brisée.
Considérons un plasma d’hydrogène, à l’équilibre thermodynamique, caractérisé par
une densité d’électrons n e (x) et une densité d’ions n i (x) ; à l’équilibre n e = n 0 = n i .
Ces deux populations sont maintenues à une température T , le plasma est infini,
globalement neutre et le potentiel électrique f étant uniforme peut être pris égal à
zéro. En x = 0, introduisons une électrode plane et infinie, parallèle aux plans y Oz.
Étudions les perturbations de potentiel et de densité lorsque cette électrode est portée
à un potentiel f 0 . Le potentiel f(x) en un point de coordonnées x vérifie l’équation
de Poisson :
Équation de Poisson :
d
2
f
dx 2 = −
n e (x)q e + n i (x)q i
´ 0
et satisfait aux conditions aux limites f(−∞) = f(+∞) = 0, df(−∞)/dx
= df(+∞)/dx = 0 (champ et potentiel nuls à l’infini), f(0) = f 0 .
En réponse au potentiel électrique les électrons vont avoir tendance à rechercher les
zones de potentiel fort et les ions les zones de potentiel faible. Cette tendance est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit