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3 • Phénomènes collectifs
Les trois inconnues de ce problème, n(x), v(x) et f (x), vérifient donc un système de
trois équations.
Conservation de l’énergie :
m
2
v
2 (x) − ef (x) =
m
2
V
2
Conservation de la charge : n(x)v(x) = N V
Équation de Poisson :
d
2
f
dx 2 =
ne
´ 0
(3.3)
où −e est la charge de l’électron et m sa masse. Les deux premières équations étant
de nature algébrique et non différentielle, elles constituent naturellement le point de
départ du processus d’élimination.
x
x =
λ
x = 0
v(x)
V
N
n(x)
Figure 3.6 Séparation de charge inertielle.
Le théorème de conservation de l’énergie mécanique permet en effet d’exprimer v(x)
en fonction de f(x). La densité électronique peut ensuite être exprimée en fonction
du potentiel électrostatique en éliminant la vitesse dans l’équation de conservation
de la charge.
v (x) =
V 2 +
2ef(x)
m
→ n(x) =
N V
V 2 +
2ef(x)
m
Afin de faciliter la résolution finale et le calcul de l, introduisons des variables normalisées de potentiel et de position : f (x) → F (X ) où
X =
2N e 2
´ 0 mV 2 x,
F =
2e
mV 2 f
(3.4)
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