3.2 Écrantage électrique
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Ce phénomène oblige donc à neutraliser en charge les faisceaux lents si l’on souhaite
les manipuler pendant un temps grand devant la période plasma. Pour les faisceaux
rapides la force de Laplace due au champ magnétique généré par le faisceau s’oppose
à l’éclatement coulombien et induit un phénomène de pincement (des charges de
même signe se repoussent, mais des courant de même signe s’attirent) car le champ
magnétique est proportionnel au courant donc à la vitesse.
3.2 ÉCRANTAGE ÉLECTRIQUE
3.2.1 Longueur de Debye
La longueur de Debye constitue l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasineutralité et le phénomène d’écrantage électrique. Afin d’établir ce résultat nous
allons d’abord étudier un modèle unidimensionnel d’écrantage électrique et nous
expliquerons ensuite comment une structure d’écrantage peut être attachée à toutes
les particules du plasma à travers le concept de sphère de Debye.
Soit un plasma décrit par une densité d’électrons n et une densité d’ions n i . À l’intérieur du plasma, n = n i = N . Ce plasma, semi-infini, occupe la région de l’espace
x 0. Les ions sont supposés infiniment lourds et sont donc au repos, les électrons possèdent une vitesse non nulle suivant l’axe des x. Cette vitesse permet aux
électrons de s’éloigner de l’interface plasma-vide en x = 0, mais, ce faisant, les
ions et les électrons ne se neutralisent plus mutuellement et créent, par séparation de
charges, un champ électrique qui induit une force de rappel sur la population électronique. Les électrons rebroussent donc chemin au bout d’une distance l (Figure
3.6).
Soit v(x)e x la vitesse d’un électron à une distance x de l’interface x = 0. On a donc
v(x = l) = 0 et on pose v(x = 0) = ±V . La densité d’électrons n(x) à une distance
x de l’interface x = 0 vérifie n(x > l) = 0 et n(x 0) = N (Figure 3.6). On
appelle f(x) le potentiel électrostatique à une distance x de l’interface x = 0, ce
potentiel électrostatique vérifie les conditions aux limites
f(x = 0) = 0 et
df
dx
x=l
= 0.
En effet, pour x > l le champ électrique est nul car la somme totale des charges est
nulle pour x < l (théorème de Gauss).
La longueur l est donc la longueur caractéristique de brisure de la neutralité lorsque
les électrons ont une vitesse V ; dans le paragraphe suivant nous étendrons ce modèle
au cas plus réaliste d’une distribution thermique de vitesses. La valeur de l s’obtient
aisément en considérant la conservation de la charge et de l’impulsion ainsi que la
relation de Poisson. Le principe de conservation de la charge, en régime stationnaire,
s’exprime par la nullité de la divergence du flux éléctronique d [n(x)v(x)] /dx = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Ce phénomène oblige donc à neutraliser en charge les faisceaux lents si l’on souhaite
les manipuler pendant un temps grand devant la période plasma. Pour les faisceaux
rapides la force de Laplace due au champ magnétique généré par le faisceau s’oppose
à l’éclatement coulombien et induit un phénomène de pincement (des charges de
même signe se repoussent, mais des courant de même signe s’attirent) car le champ
magnétique est proportionnel au courant donc à la vitesse.
3.2 ÉCRANTAGE ÉLECTRIQUE
3.2.1 Longueur de Debye
La longueur de Debye constitue l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasineutralité et le phénomène d’écrantage électrique. Afin d’établir ce résultat nous
allons d’abord étudier un modèle unidimensionnel d’écrantage électrique et nous
expliquerons ensuite comment une structure d’écrantage peut être attachée à toutes
les particules du plasma à travers le concept de sphère de Debye.
Soit un plasma décrit par une densité d’électrons n et une densité d’ions n i . À l’intérieur du plasma, n = n i = N . Ce plasma, semi-infini, occupe la région de l’espace
x 0. Les ions sont supposés infiniment lourds et sont donc au repos, les électrons possèdent une vitesse non nulle suivant l’axe des x. Cette vitesse permet aux
électrons de s’éloigner de l’interface plasma-vide en x = 0, mais, ce faisant, les
ions et les électrons ne se neutralisent plus mutuellement et créent, par séparation de
charges, un champ électrique qui induit une force de rappel sur la population électronique. Les électrons rebroussent donc chemin au bout d’une distance l (Figure
3.6).
Soit v(x)e x la vitesse d’un électron à une distance x de l’interface x = 0. On a donc
v(x = l) = 0 et on pose v(x = 0) = ±V . La densité d’électrons n(x) à une distance
x de l’interface x = 0 vérifie n(x > l) = 0 et n(x 0) = N (Figure 3.6). On
appelle f(x) le potentiel électrostatique à une distance x de l’interface x = 0, ce
potentiel électrostatique vérifie les conditions aux limites
f(x = 0) = 0 et
df
dx
x=l
= 0.
En effet, pour x > l le champ électrique est nul car la somme totale des charges est
nulle pour x < l (théorème de Gauss).
La longueur l est donc la longueur caractéristique de brisure de la neutralité lorsque
les électrons ont une vitesse V ; dans le paragraphe suivant nous étendrons ce modèle
au cas plus réaliste d’une distribution thermique de vitesses. La valeur de l s’obtient
aisément en considérant la conservation de la charge et de l’impulsion ainsi que la
relation de Poisson. Le principe de conservation de la charge, en régime stationnaire,
s’exprime par la nullité de la divergence du flux éléctronique d [n(x)v(x)] /dx = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit