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3 • Phénomènes collectifs
identiques de charge q et de masse m. Sous l’effet des forces de répulsion électrostatique ce cylindre va avoir tendance à éclater (Figure 3.5). À l’instant initial t = 0,
le rayon de ce cylindre est R. On appelle j(r , t) le déplacement radial à l’instant t
des électrons de la couronne cylindrique de rayon initial r . À l’instant t = 0 on a
donc j(r , 0) = 0 et ∂j/∂t = 0. À l’instant t > 0 le théorème de Gauss appliqué à
une surface cylindrique permet de calculer le champ électrique radial en un point de
coordonnée r +j et la force de Coulomb ainsi créée produit une accélération ∂
2
j/∂t
2 .
E (r + j) =
nq
2´ 0
r
2
r + j
→
∂
2
j
∂t 2 =
nq
2
2´ 0 m
r
2
r + j
Une intégrale première, où l’on reconnaît l’énergie cinétique électronique et l’énergie potentielle d’une distribution cylindrique, permet d’abaisser l’ordre du problème
d’un degré. L’intégration de cette équation du premier degré par quadrature fournit
la relation implicite t(j, r ) décrivant l’éclatement coulombien du cylindre.
∂j
∂t
2
= v
2
p r
2 log
r + j
r
→ v p t(j, r ) =
1+
j
r
1
du
√
log u
Le temps de doublement du rayon du faisceau donne l’échelle caractéristique du
phénomène d’éclatement coulombien.
t(R → 2R) =
1
v p
2
1
(log u)
−
1
2 du
(3.2)
L’échelle caractéristique de temps associée à l’éclatement coulombien est donc l’inverse de la pulsation plasma v
2
p = nq
2
/´ 0 m.
t
2 r
2 R
2 (r + ξ (r,t))
2 (R + ξ (R,t))
Figure 3.5 Éclatement coulombien d’un cylindre.
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