2.3 Hydrodynamique
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à appeler équation d’état toute relation algébrique entre variables d’états thermodynamiques.
• Pour un modèle isentropique, par abus de langage, adiabatique, la pression P et
la densité n ne sont pas deux variables indépendantes et la relation traduisant la
conservation de l’entropie, c’est-à-dire l’absence d’échange de chaleur dans une
transformation réversible, est donnée par :
Isentropique :
P
n g =
P 0
n
g
0
(2.33)
L’indice adiabatique g est égal au rapport des capacités calorifiques c p /c v , qui
pour un gaz parfait en dimension d est donné par : g = d + 2/d. Cette équation
(2.33) sera utilisée lorsque les processus de conduction de la chaleur seront beaucoup plus lents que le processus étudié, c’est-à-dire lorsque le processus dynamique étudié est très rapide.
• Par contre, lorsque les processus de conduction de la chaleur sont rapides à
l’échelle du processus étudié (c’est à dire lorsque ce dernier est lent) et n’autorisent pas l’existence d’un gradient de température nous utiliserons une équation
isotherme.
Isotherme :
P
n
=
P 0
n 0
(2.34)
Enfin, dans certains cas, une équation d’état isochore (volume constant) ou isobare
(pression constante) peut être considérée, P = P 0 , n = n 0 . Le système des trois
équations fluides : équation de conservation du nombre de particules (2.30), équation
d’Euler (2.32), et équation d’état (2.33), constitue un système de cinq équations scalaires décrivant les cinq variables hydrodynamiques, la densité de particules n(r, t),
la vitesse eulérienne V(r, t) et la pression P(r, t).
L’équation d’Euler peut être mise sous une forme qui est particulièrement bien adaptée à l’étude des écoulements unidimensionnels. Introduisons pour cela l’enthalpie
H et l’enthalpie libre massique G ; considérons l’énergie interne par unité de masse
U = u/nm, l’entropie par unité de masse S, l’enthalpie par unité de masse est
alors donnée par H = U +
P
nm
= h/nm et l’enthalpie libre par unité de masse
par G = H − T S. Les variations de ces variables intensives sont décrites par les
formules classiques : dH = T dS + d P/nm et dG = SdT + d P/nm.
D’une part, le terme de pression ∇P/nm de l’équation d’Euler (2.32) peut donc être
ramené à un gradient d’enthalpie, ou à un gradient d’enthalpie libre, dans les cas
isentropiques ou isothermes.
∇P
nm
S
= ∇H,
∇P
nm
T
= ∇G
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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à appeler équation d’état toute relation algébrique entre variables d’états thermodynamiques.
• Pour un modèle isentropique, par abus de langage, adiabatique, la pression P et
la densité n ne sont pas deux variables indépendantes et la relation traduisant la
conservation de l’entropie, c’est-à-dire l’absence d’échange de chaleur dans une
transformation réversible, est donnée par :
Isentropique :
P
n g =
P 0
n
g
0
(2.33)
L’indice adiabatique g est égal au rapport des capacités calorifiques c p /c v , qui
pour un gaz parfait en dimension d est donné par : g = d + 2/d. Cette équation
(2.33) sera utilisée lorsque les processus de conduction de la chaleur seront beaucoup plus lents que le processus étudié, c’est-à-dire lorsque le processus dynamique étudié est très rapide.
• Par contre, lorsque les processus de conduction de la chaleur sont rapides à
l’échelle du processus étudié (c’est à dire lorsque ce dernier est lent) et n’autorisent pas l’existence d’un gradient de température nous utiliserons une équation
isotherme.
Isotherme :
P
n
=
P 0
n 0
(2.34)
Enfin, dans certains cas, une équation d’état isochore (volume constant) ou isobare
(pression constante) peut être considérée, P = P 0 , n = n 0 . Le système des trois
équations fluides : équation de conservation du nombre de particules (2.30), équation
d’Euler (2.32), et équation d’état (2.33), constitue un système de cinq équations scalaires décrivant les cinq variables hydrodynamiques, la densité de particules n(r, t),
la vitesse eulérienne V(r, t) et la pression P(r, t).
L’équation d’Euler peut être mise sous une forme qui est particulièrement bien adaptée à l’étude des écoulements unidimensionnels. Introduisons pour cela l’enthalpie
H et l’enthalpie libre massique G ; considérons l’énergie interne par unité de masse
U = u/nm, l’entropie par unité de masse S, l’enthalpie par unité de masse est
alors donnée par H = U +
P
nm
= h/nm et l’enthalpie libre par unité de masse
par G = H − T S. Les variations de ces variables intensives sont décrites par les
formules classiques : dH = T dS + d P/nm et dG = SdT + d P/nm.
D’une part, le terme de pression ∇P/nm de l’équation d’Euler (2.32) peut donc être
ramené à un gradient d’enthalpie, ou à un gradient d’enthalpie libre, dans les cas
isentropiques ou isothermes.
∇P
nm
S
= ∇H,
∇P
nm
T
= ∇G
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit