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2 • Champs, particules et fluides
P (x )d S
P (x + dx )d S
dS
d x
Figure 2.15 Pression sur un élément de volume et densité volumique de force de pression.
La pression exercée sur ces deux faces étant différente, ce cylindre est soumis à une
force Fdxd S (c’est à dire à une densité volumique de forces F) égale à la résultante
des forces de pression.
Fdxd S = P (x + dx) d S − P (x) d S = −dxd S
d P
dx
Ainsi, la densité volumique de forces F dans un fluide où règne une pression inhomogène est égale à l’opposé du gradient de pression.
F
N·m
−3
= −∇
P
N·m
−2
(2.31)
Cette dernière formule permet de traduire le bilan d’impulsion lagrangien, c’est-àdire la loi de Newton, en une équation eulérienne, l’équation d’Euler (2.32) ; identifions pour cela la densité volumique de force et la densité volumique d’accélération
(2.28) que multiplie la masse d’une particule m.
nm
∂V
∂t
+ (V·∇) V
= −∇P + nq [E + V × B]
(2.32)
Nous obtenons ainsi un système de quatre équations, (2.30) et (2.32), pour cinq
inconnues : n, V et P ; il est donc nécessaire de compléter ce système par une équation supplémentaire pour obtenir une structure de problème bien posé. La stratégie
la plus simple est de considérer une équation d’état algébrique reliant la pression P
et la densité n.
En l’absence de processus de transport, ou de discontinuité, la pression scalaire vérifie une équation d’adiabatique. Le terme équation d’état utilisé ici n’est pas approprié, les relations dérivées sont des relations de transformation thermodynamique,
l’équation d’état est P = nkT , mais nous pratiquerons l’abus de langage qui consiste
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
P (x )d S
P (x + dx )d S
dS
d x
Figure 2.15 Pression sur un élément de volume et densité volumique de force de pression.
La pression exercée sur ces deux faces étant différente, ce cylindre est soumis à une
force Fdxd S (c’est à dire à une densité volumique de forces F) égale à la résultante
des forces de pression.
Fdxd S = P (x + dx) d S − P (x) d S = −dxd S
d P
dx
Ainsi, la densité volumique de forces F dans un fluide où règne une pression inhomogène est égale à l’opposé du gradient de pression.
F
N·m
−3
= −∇
P
N·m
−2
(2.31)
Cette dernière formule permet de traduire le bilan d’impulsion lagrangien, c’est-àdire la loi de Newton, en une équation eulérienne, l’équation d’Euler (2.32) ; identifions pour cela la densité volumique de force et la densité volumique d’accélération
(2.28) que multiplie la masse d’une particule m.
nm
∂V
∂t
+ (V·∇) V
= −∇P + nq [E + V × B]
(2.32)
Nous obtenons ainsi un système de quatre équations, (2.30) et (2.32), pour cinq
inconnues : n, V et P ; il est donc nécessaire de compléter ce système par une équation supplémentaire pour obtenir une structure de problème bien posé. La stratégie
la plus simple est de considérer une équation d’état algébrique reliant la pression P
et la densité n.
En l’absence de processus de transport, ou de discontinuité, la pression scalaire vérifie une équation d’adiabatique. Le terme équation d’état utilisé ici n’est pas approprié, les relations dérivées sont des relations de transformation thermodynamique,
l’équation d’état est P = nkT , mais nous pratiquerons l’abus de langage qui consiste
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit