2.3 Hydrodynamique
69
La fonction de distribution F
, après la déformation décrite par le champ inhomogène
j(x), est donc donnée par :
F
(x) =
F(s)[d(x − s) + j(s)·
∂
∂s
d(x − s) +
1
2
j(s)j(s)·
∂
∂s
∂
∂s
d(x − s)]ds
Le théorème d’intégration par partie est ensuite utilisé sur chaque terme pour éliminer toutes les dérivations de distributions de Dirac, permettant ainsi d’intégrer les
sommes et d’obtenir le résultat final.
F
(x) − F(x) = −
∂
∂x
·j(x)F(x) +
1
2
∂
∂x
·
∂
∂x
·j(x)j(x)F(x)
Ce dernier résultat constitue le théorème de Lagrange. Si pendant une durée dt
chaque particule subit un déplacement j(x, dt) alors le taux de variation temporel
de la distribution est donné par :
∂ F(x,t)
∂t
= −
∂
∂x
·
j(x, dt)
dt
F(x, t) −
∂
∂x
·
j(x, dt)j(x, dt)
2dt
F(x, t)
(2.29)
On reconnaît une forme de Fokker-Planck, mais ici les coefficients de mobilité,
j(x, dt)/dt et diffusion j(x, dt)j(x, dt)/2dt ne sont pas des moyennes statistiques
mais des déformations données. Les applications du théorème de Lagrange en mécanique des milieux continus sont nombreuses, par exemple le bilan de matière dans
un écoulement fluide sans diffusion peut être établi sur la base de ce théorème car les
expressions des coefficients sont particulièrement simples.
j(r, dt)
dt
= V (r, t) ,
j(r,dt)j(r,dt)
dt
= 0
L’équation (2.29) prend alors la forme de l’équation classique de conservation du
nombre de particules pour un écoulement fluide.
∂n(r,t)
∂t
+ ∇· [n(r, t)V (r, t)] = 0
(2.30)
Les autres équations de la mécanique des fluides peuvent aussi être dérivées à partir
du théorème de Lagrange, mais nous utiliserons la voie plus classique des bilans de
forces et d’énergie.
2.3.2 Équation d’Euler
Considérons une distribution de pression non-uniforme, P (x), où l’axe des x est pris
suivant la direction d’inhomogénéité. Isolons, par la pensée, un élément de volume
du fluide considéré : dxd S (Figure 2.15). Cet élément de volume est un cylindre de
génératrices parallèles à l’axe des x, d’épaisseur dx et les deux faces de ce cylindre
ont une surface d S.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La fonction de distribution F
, après la déformation décrite par le champ inhomogène
j(x), est donc donnée par :
F
(x) =
F(s)[d(x − s) + j(s)·
∂
∂s
d(x − s) +
1
2
j(s)j(s)·
∂
∂s
∂
∂s
d(x − s)]ds
Le théorème d’intégration par partie est ensuite utilisé sur chaque terme pour éliminer toutes les dérivations de distributions de Dirac, permettant ainsi d’intégrer les
sommes et d’obtenir le résultat final.
F
(x) − F(x) = −
∂
∂x
·j(x)F(x) +
1
2
∂
∂x
·
∂
∂x
·j(x)j(x)F(x)
Ce dernier résultat constitue le théorème de Lagrange. Si pendant une durée dt
chaque particule subit un déplacement j(x, dt) alors le taux de variation temporel
de la distribution est donné par :
∂ F(x,t)
∂t
= −
∂
∂x
·
j(x, dt)
dt
F(x, t) −
∂
∂x
·
j(x, dt)j(x, dt)
2dt
F(x, t)
(2.29)
On reconnaît une forme de Fokker-Planck, mais ici les coefficients de mobilité,
j(x, dt)/dt et diffusion j(x, dt)j(x, dt)/2dt ne sont pas des moyennes statistiques
mais des déformations données. Les applications du théorème de Lagrange en mécanique des milieux continus sont nombreuses, par exemple le bilan de matière dans
un écoulement fluide sans diffusion peut être établi sur la base de ce théorème car les
expressions des coefficients sont particulièrement simples.
j(r, dt)
dt
= V (r, t) ,
j(r,dt)j(r,dt)
dt
= 0
L’équation (2.29) prend alors la forme de l’équation classique de conservation du
nombre de particules pour un écoulement fluide.
∂n(r,t)
∂t
+ ∇· [n(r, t)V (r, t)] = 0
(2.30)
Les autres équations de la mécanique des fluides peuvent aussi être dérivées à partir
du théorème de Lagrange, mais nous utiliserons la voie plus classique des bilans de
forces et d’énergie.
2.3.2 Équation d’Euler
Considérons une distribution de pression non-uniforme, P (x), où l’axe des x est pris
suivant la direction d’inhomogénéité. Isolons, par la pensée, un élément de volume
du fluide considéré : dxd S (Figure 2.15). Cet élément de volume est un cylindre de
génératrices parallèles à l’axe des x, d’épaisseur dx et les deux faces de ce cylindre
ont une surface d S.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit