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2 • Champs, particules et fluides
Le cadre de la réconciliation des points de vues lagrangien et eulérien peut aussi
être élaboré à l’aide du théorème de Lagrange. Le théorème de Lagrange (Mem. de
l’Acad. de Berlin XXIV, 1770) n’est pas spécifique à la physique des plasmas. Il permet de développer une modélisation en terme de fonction de distribution (de densité)
pour tout système dont la dynamique microscopique (lagrangienne) pour chaque particule est connue. Soit donc F(x) une densité de particules dans un espace [x] quelconque (vitesse, position, énergie...), F(x)dx est le nombre moyen de particules au
voisinage de x dans l’élément de volume dx. Ce système n’est pas statique et son
évolution dynamique se traduit par un déplacement lagrangien de chaque particule ;
ainsi la particule qui se trouvait en x est déplacée (ou se déplace) en x + j(x) (Figure
2.14).
x
F(x)
F'(x)
ξ(x)
x
Figure 2.14 Déplacement lagrangien et distribution eulérienne.
Le problème est de calculer la nouvelle densité F
(x) en tout point de l’espace des
x après la déformation due au déplacement de tous les points. La conservation du
nombre de particules se traduit par l’identité :
F
(x) =
d [x − (s + j (s))] F (s) ds
La déformation est supposée suffisamment petite pour permettre un développement
de Taylor.
d [x − s − j (s)] = d(x − s) − j(s)·
∂
∂x
d(x − s) +
1
2
j(s)j(s)·
∂
∂x
∂
∂x
d(x − s)
Compte tenu de la parité de la distribution de Dirac, d (a) = d (−a), les dérivés par
rapport à la position finale x peuvent être prises par rapport à la position générique
initiale s.
d [x − s − j (s)] = d(x − s) + j(s)·
∂
∂s
d(x − s) +
1
2
j(s)j(s)·
∂
∂s
∂
∂s
d(x − s)
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