2.3 Hydrodynamique
67
t
t 0
r 0
r
V
( r , t )
ξ(r 0 ,t)
Déplacement lagrangien
Vitesse eulérienne
Figure 2.13 Orbites lagrangiennes et écoulement eulérien.
De même, la vitesse eulérienne en ce point r, à l’instant t, peut être exprimée en
fonction de la vitesse lagrangienne.
V(r, t)| r=r0+j(r0,t)
Vitesse eulérienne
≡
∂j (r 0 , t)
∂t
Vitesse lagrangienne
(2.27)
Cette dernière relation permet d’exprimer l’accélération d’une particule fluide en
fonction de la vitesse eulérienne. Pour ce faire, comparons les vitesses eulériennes
et lagrangiennes à deux instants voisins en deux points voisins par lesquels passe la
particule lagrangienne.
V(r, t) =
∂j (r 0 , t)
∂t
,
V
r +
∂j
∂t
dt, t + dt
=
∂j (r 0 , t + dt)
∂t
La différence entre ces deux expressions permet d’exprimer l’accélération en coordonnées eulériennes.
∂
2
j (r 0 , t)
∂t 2
Accélération lagrangienne
=
∂V(r, t)
∂t
+ V(r,t)·∇V(r, t)
Accélération eulérienne
(2.28)
Les deux termes du second membre étant respectivement appelés dérivée locale et
dérivée convective. Cette dernière formule met en évidence l’un des inconvénients
majeur de la formulation eulérienne : l’accélération est une fonction non linéaire de
la vitesse.
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