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2 • Champs, particules et fluides
La première est utilisée en théorie de l’élasticité et la deuxième en mécanique des
fluides. L’étude des écoulements unidimensionnels en aérodynamique est simplifiée
par une approche lagrangienne, qui n’est en fait que l’interprétation physique de
la méthode des caractéristiques. En physique des plasmas, lorsqu’un modèle fluide
s’avère nécessaire, il est d’usage de considérer un formalisme eulérien, mais, comme
nous le verrons dans le chapitre suivant, un formalisme lagrangien peut, parfois, se
révéler plus adapté à la formulation d’un certain nombre de problèmes unidimentionels, ainsi qu’à l’étude des principes de stabilité magnétohydrodynamique. De
même, dans le cadre de la théorie cinétique des plasmas, une approche lagrangienne,
basée sur le théorème de représentation de Lagrange, permettra l’écriture des différentes équations cinétiques d’une manière particulièrement claire et efficace.
2.3.1 Théorème de Lagrange
La description lagrangienne du mouvement d’un fluide s’attache au suivi de la
position et de la vitesse de chaque particule fluide. Une particule fluide est un
ensemble mésoscopique d’électrons (d’ions) en nombre suffisamment grand pour
que les fluctuations des variables dynamiques soient négligeables. La coordonnée
lagrangienne permettant d’identifier cette particule fluide est sa position r 0 à un
instant, de référence, initial t 0 ; les variables lagrangiennes dynamiques sont alors
la position r = r 0 + j (r 0 , t) et la vitesse V = ∂j (r 0 , t) /∂t de cette particule à un
instant ultérieur t.
• L’avantage de cette description lagrangienne réside dans la simplicité de l’écriture
du principe fondamental de la dynamique lorsque des particules de masse m et de
charge q interagissent avec un champ électrique E et un champ magnétique B.
∂
2
j (r 0 )
∂t 2 =
q
m
E(r 0 + j) +
q
m
∂j (r 0 )
∂t
× B(r 0 + j)
• L’inconvénient de cette description lagrangienne réside dans le fait que les équations de Maxwell s’expriment en fonction de termes sources correspondant à une
description eulérienne du plasma : V(r, t) et n(r, t).
Le point de vue eulérien ne s’attache pas à l’identité de chaque particule fluide mais
à l’identité de chaque point de l’espace r dans lequel est plongé le plasma. Les
variables eulériennes décrivent la densité, n(r, t), et la vitesse du plasma, V(r, t),
en chaque point de l’espace r à chaque instant t.
Le point de vue lagrangien est actif et implique un repérage (r 0 ) et un suivi (j) de
chaque particule fluide, le point de vue eulérien est passif et s’attache à une description en chaque point de l’espace (r) (Figure 2.13). Bien entendu ces deux représentations d’une réalité unique peuvent être aisément réconciliées.
r
Position eulérienne
≡
r 0
Coordonnée lagrangienne
+
j (r 0 , t)
Deplacement lagrangien
(2.26)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
La première est utilisée en théorie de l’élasticité et la deuxième en mécanique des
fluides. L’étude des écoulements unidimensionnels en aérodynamique est simplifiée
par une approche lagrangienne, qui n’est en fait que l’interprétation physique de
la méthode des caractéristiques. En physique des plasmas, lorsqu’un modèle fluide
s’avère nécessaire, il est d’usage de considérer un formalisme eulérien, mais, comme
nous le verrons dans le chapitre suivant, un formalisme lagrangien peut, parfois, se
révéler plus adapté à la formulation d’un certain nombre de problèmes unidimentionels, ainsi qu’à l’étude des principes de stabilité magnétohydrodynamique. De
même, dans le cadre de la théorie cinétique des plasmas, une approche lagrangienne,
basée sur le théorème de représentation de Lagrange, permettra l’écriture des différentes équations cinétiques d’une manière particulièrement claire et efficace.
2.3.1 Théorème de Lagrange
La description lagrangienne du mouvement d’un fluide s’attache au suivi de la
position et de la vitesse de chaque particule fluide. Une particule fluide est un
ensemble mésoscopique d’électrons (d’ions) en nombre suffisamment grand pour
que les fluctuations des variables dynamiques soient négligeables. La coordonnée
lagrangienne permettant d’identifier cette particule fluide est sa position r 0 à un
instant, de référence, initial t 0 ; les variables lagrangiennes dynamiques sont alors
la position r = r 0 + j (r 0 , t) et la vitesse V = ∂j (r 0 , t) /∂t de cette particule à un
instant ultérieur t.
• L’avantage de cette description lagrangienne réside dans la simplicité de l’écriture
du principe fondamental de la dynamique lorsque des particules de masse m et de
charge q interagissent avec un champ électrique E et un champ magnétique B.
∂
2
j (r 0 )
∂t 2 =
q
m
E(r 0 + j) +
q
m
∂j (r 0 )
∂t
× B(r 0 + j)
• L’inconvénient de cette description lagrangienne réside dans le fait que les équations de Maxwell s’expriment en fonction de termes sources correspondant à une
description eulérienne du plasma : V(r, t) et n(r, t).
Le point de vue eulérien ne s’attache pas à l’identité de chaque particule fluide mais
à l’identité de chaque point de l’espace r dans lequel est plongé le plasma. Les
variables eulériennes décrivent la densité, n(r, t), et la vitesse du plasma, V(r, t),
en chaque point de l’espace r à chaque instant t.
Le point de vue lagrangien est actif et implique un repérage (r 0 ) et un suivi (j) de
chaque particule fluide, le point de vue eulérien est passif et s’attache à une description en chaque point de l’espace (r) (Figure 2.13). Bien entendu ces deux représentations d’une réalité unique peuvent être aisément réconciliées.
r
Position eulérienne
≡
r 0
Coordonnée lagrangienne
+
j (r 0 , t)
Deplacement lagrangien
(2.26)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit