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2 • Champs, particules et fluides
La pression totale générée par l’ensemble des particules à pour valeur la somme des
pressions infinitésimales d P (v, u) lorsque l’angle u varie de 0 à p/2 et le module de
la vitesse v varie de 0 à +∞.
P = n
p
2
0
cos
2
u sin udu
+∞
0
mv
2 f 0 (v) dv =
nm
3
+∞
0
v
2 f 0 (v) dv =
nm
v
2
3
La pression cinétique totale s’exprime donc en fonction de la vitesse quadratique
moyenne, et l’équation des gaz parfait, ou loi de Mariotte-Gay-Lussac-Boyle est ainsi
retrouvée.
P =
nm
v
2
3
= nkT
(2.24)
Enfin, la somme de l’énergie interne volumique u et de la pression P (2.24) définit
l’enthalpie volumique : h = P + u =
5
2
nkT . Le tableau (2.7) résume cet ensemble
de définitions et relations.
Tableau 2.7
Quantité
Définition
Valeur
Énergie interne volumique
u = nm
v 2
/2
3
2
nkT
Enthalpie volumique
h = 5nm
v 2
/6
5
2
nkT
Pression
P = nm
v 2
/3
nkT
Ce formalisme cinétique de la dynamique des gaz permet d’identifier l’enthalpie
comme la quantité mesurant le flux énergétique non dirigé. Considérons un gaz à
l’équilibre thermodynamique local, en écoulement à la vitesse V, décrit par la fonction de distribution des vitesses Maxwellienne :
f (v) =
m
2pkT
3
2 exp
−
m (v − V)
2
2kT
Définissons le flux d’énergie cinétique dans la direction de l’écoulement :
G c = n
mv
2
2
v ·V
V
f (v)dv = mnV
5
3
v
2
2
+
V
2
2
= nV
5
2
kT +
mV
2
2
Le flux d’énergie G c n’est donc pas donné par uV plus le flux d’énergie cinétique de
l’écoulement nmV
2
V/2, mais par hV + nmV
2
V/2. L’énergie interne spécifique est
transportée par le flux d’un vecteur somme de l’enthalpie spécifique et de l’énergie
cinétique de l’écoulement. Il est aussi intéressant de calculer le flux de quantité de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
La pression totale générée par l’ensemble des particules à pour valeur la somme des
pressions infinitésimales d P (v, u) lorsque l’angle u varie de 0 à p/2 et le module de
la vitesse v varie de 0 à +∞.
P = n
p
2
0
cos
2
u sin udu
+∞
0
mv
2 f 0 (v) dv =
nm
3
+∞
0
v
2 f 0 (v) dv =
nm
v
2
3
La pression cinétique totale s’exprime donc en fonction de la vitesse quadratique
moyenne, et l’équation des gaz parfait, ou loi de Mariotte-Gay-Lussac-Boyle est ainsi
retrouvée.
P =
nm
v
2
3
= nkT
(2.24)
Enfin, la somme de l’énergie interne volumique u et de la pression P (2.24) définit
l’enthalpie volumique : h = P + u =
5
2
nkT . Le tableau (2.7) résume cet ensemble
de définitions et relations.
Tableau 2.7
Quantité
Définition
Valeur
Énergie interne volumique
u = nm
v 2
/2
3
2
nkT
Enthalpie volumique
h = 5nm
v 2
/6
5
2
nkT
Pression
P = nm
v 2
/3
nkT
Ce formalisme cinétique de la dynamique des gaz permet d’identifier l’enthalpie
comme la quantité mesurant le flux énergétique non dirigé. Considérons un gaz à
l’équilibre thermodynamique local, en écoulement à la vitesse V, décrit par la fonction de distribution des vitesses Maxwellienne :
f (v) =
m
2pkT
3
2 exp
−
m (v − V)
2
2kT
Définissons le flux d’énergie cinétique dans la direction de l’écoulement :
G c = n
mv
2
2
v ·V
V
f (v)dv = mnV
5
3
v
2
2
+
V
2
2
= nV
5
2
kT +
mV
2
2
Le flux d’énergie G c n’est donc pas donné par uV plus le flux d’énergie cinétique de
l’écoulement nmV
2
V/2, mais par hV + nmV
2
V/2. L’énergie interne spécifique est
transportée par le flux d’un vecteur somme de l’enthalpie spécifique et de l’énergie
cinétique de l’écoulement. Il est aussi intéressant de calculer le flux de quantité de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit