58
2 • Champs, particules et fluides
Ces définitions sont restreintes à l’étude d’une particule ; la description statistique la
plus fine d’un système de N particules doit permettre d’évaluer les corrélations entre
les différentes particules. Les fonctions de distribution, F(r, v) ou F(r, p), dites à
un corps, ne permettent pas l’étude de ces corrélations entre particules ; il est donc
parfois nécessaire de considérer la fonction de distribution à N corps.
Soit un ensemble de N électrons et ions étiquettés de 1 à N . La dynamique
de cette population se développe dans l’espace des positions et impulsions
(r 1 , p 1 , r 2 ..., p N −1 , r N , p N ), l’espace des phases du système considéré. A chaque
instant t, il est possible de définir la fonction de distribution à N corps : F(r 1 , p 1 , r 2 ..,
p N −1 , r N , p N ). Cette fonction de distribution possède deux interprétations :
• une interprétation probabiliste, Fdr 1 dp 1 ...dr N dp N mesure la probabilité que la
première particule soit dans l’élément de volume dr 1 dp 1 au voisinage de r 1 , p 1 ,
que la deuxième particule soit dans l’élément de volume dr 2 dp 2 au voisinage de
r 2 , p 2 , etc.
• une interprétation statistique, F est aussi proportionnelle au nombre moyen de
particules en r 1 ayant l’impulsion p 1 dans l’élément de volume dr 1 dp 1 , etc., cette
moyenne étant une moyenne d’ensemble, mais pouvant tout aussi bien être une
moyenne dans le temps conformément à l’hypothèse ergodique.
Dans les plasmas, à haute température, les corrélations sont peu relevantes et
la fonction de distribution à une particule ou plus simplement fonction de distribution, F(r, v, t) ou F(r, p, t), contient souvent suffisamment d’informations
pour appréhender l’essentiel des processus microscopiques à l’échelle cinétique :
F(r 1 , p 1 , r 2 .., p N −1 , r N , p N ) = F(r 1 , p 1 )F(r 2 , p 2 )...F(r N , p N ).
2.2.2 Hiérarchie de Bogolioubov
Il est possible de développer un cadre de justifications plus convaincant que l’argument de l’extrême agitation thermique des hautes température pour expliquer la
non pertinence des corrélations multiples en physique des plasmas : F(r 1 , p 1 , r 2 ..,
p N −1 , r N , p N ) = F(r 1 , p 1 )F(r 2 , p 2 )...F(r N , p N ), ce point de vue constitue l’hypothèse, dite de régression des corrélations, de Bogolioubov que nous présentons ici.
Toutes ces densités de probabilité, F, F, f et n, sont évidemment fonction du temps
t ; sur une échelle de temps longue la fonction de distribution à un corps F va relaxer
vers une maxwelienne locale et une description fluide au voisinage de l’équilibre
thermodynamique devient valide. La température T , la densité n et la vitesse d’écoulement sont alors des variables pertinentes pour la description de cet ensemble de particules ; puis sur une échelle de temps plus longue, l’écoulement tend vers une configuration au repos et le plasma devient homogène à l’équilibre thermodynamique.
Ce processus de relaxation vers l’équilibre thermodynamique est universel. Suivant
en cela Bogolioubov, l’usage est d’introduire trois échelles de temps pour quantifier
cette évolution d’un système de particules.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
Ces définitions sont restreintes à l’étude d’une particule ; la description statistique la
plus fine d’un système de N particules doit permettre d’évaluer les corrélations entre
les différentes particules. Les fonctions de distribution, F(r, v) ou F(r, p), dites à
un corps, ne permettent pas l’étude de ces corrélations entre particules ; il est donc
parfois nécessaire de considérer la fonction de distribution à N corps.
Soit un ensemble de N électrons et ions étiquettés de 1 à N . La dynamique
de cette population se développe dans l’espace des positions et impulsions
(r 1 , p 1 , r 2 ..., p N −1 , r N , p N ), l’espace des phases du système considéré. A chaque
instant t, il est possible de définir la fonction de distribution à N corps : F(r 1 , p 1 , r 2 ..,
p N −1 , r N , p N ). Cette fonction de distribution possède deux interprétations :
• une interprétation probabiliste, Fdr 1 dp 1 ...dr N dp N mesure la probabilité que la
première particule soit dans l’élément de volume dr 1 dp 1 au voisinage de r 1 , p 1 ,
que la deuxième particule soit dans l’élément de volume dr 2 dp 2 au voisinage de
r 2 , p 2 , etc.
• une interprétation statistique, F est aussi proportionnelle au nombre moyen de
particules en r 1 ayant l’impulsion p 1 dans l’élément de volume dr 1 dp 1 , etc., cette
moyenne étant une moyenne d’ensemble, mais pouvant tout aussi bien être une
moyenne dans le temps conformément à l’hypothèse ergodique.
Dans les plasmas, à haute température, les corrélations sont peu relevantes et
la fonction de distribution à une particule ou plus simplement fonction de distribution, F(r, v, t) ou F(r, p, t), contient souvent suffisamment d’informations
pour appréhender l’essentiel des processus microscopiques à l’échelle cinétique :
F(r 1 , p 1 , r 2 .., p N −1 , r N , p N ) = F(r 1 , p 1 )F(r 2 , p 2 )...F(r N , p N ).
2.2.2 Hiérarchie de Bogolioubov
Il est possible de développer un cadre de justifications plus convaincant que l’argument de l’extrême agitation thermique des hautes température pour expliquer la
non pertinence des corrélations multiples en physique des plasmas : F(r 1 , p 1 , r 2 ..,
p N −1 , r N , p N ) = F(r 1 , p 1 )F(r 2 , p 2 )...F(r N , p N ), ce point de vue constitue l’hypothèse, dite de régression des corrélations, de Bogolioubov que nous présentons ici.
Toutes ces densités de probabilité, F, F, f et n, sont évidemment fonction du temps
t ; sur une échelle de temps longue la fonction de distribution à un corps F va relaxer
vers une maxwelienne locale et une description fluide au voisinage de l’équilibre
thermodynamique devient valide. La température T , la densité n et la vitesse d’écoulement sont alors des variables pertinentes pour la description de cet ensemble de particules ; puis sur une échelle de temps plus longue, l’écoulement tend vers une configuration au repos et le plasma devient homogène à l’équilibre thermodynamique.
Ce processus de relaxation vers l’équilibre thermodynamique est universel. Suivant
en cela Bogolioubov, l’usage est d’introduire trois échelles de temps pour quantifier
cette évolution d’un système de particules.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit