2.2 Physique statistique
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Enfin, la distribution dans l’espace des phases d’une particule (r, p), est donnée par
la fonction de distribution à un corps F(r, p, t) ou F(r, v, t) (p est la quantité de
mouvement) :
[Probabilité de trouver une particule dans le volume dp
au voisinage de p et dans le volume dr au voisinage de r] ≡ F(r, p)drdp.
V
dV
z
x
y
θ
dΩ
ϕ
Figure 2.10 Distribution entre un volume fini et un volume infinitésimal et entre toutes les
directions et un angle solide infinitésimal.
À l’équilibre thermodynamique cette fonction de distribution des vitesses et positions F 0 (r, v) doit être proportionnelle au facteur de Boltzmann qui détermine la
probabilité relative d’occupation des états comme l’exponentielle de leur différence
d’énergie ramenée à la température que multiplie la constante de Boltzmann. Pour les
électrons et les ions d’un plasma, l’énergie est essentiellement sous formes cinétique
et potentielle et nous obtenons ainsi la distribution de Maxwell-Boltzmann.
F 0 (r, v) = n (r) f 0 (v) =n 0 exp
−qf (r)
kT
Distribution de Boltzmann
m
2pkT
3
2 exp
−
mv
2
2kT
Distribution de Maxwell
(2.21)
Lorsque la fonction de distribution des vitesses f (v) est isotrope, il est d’usage de
considérer la fonction de distribution f (v), décrivant la distribution du module de la
vitesse, obtenue en sommant f (v) sur les différentes directions dans un système de
coordonnées sphériques : f (v) =
4p
0
dVv
2 f (v). L’information sur la distribution
du module de la vitesse est donc donnée par cette fonction de distribution réduite
f (v).
Probabilité de trouver une particule dans l’intervalle 4pv
2 dv
≡ f (v) dv
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