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2 • Champs, particules et fluides
Cet ensemble de définitions et de résultats sera utilisé pour construire la théorie des
ondes et oscillations dans les plasmas. Considérons maintenant le problème de la
modélisation des courants microscopiques en terme de magnétisation.
Lorsqu’un plasma est magnétisé, les orbites des électrons et des ions sont des hélices
s’enroulant autour des lignes de champ magnétique, les courants électriques associés à ces orbites hélicoïdales sont équivalents à de petites spires de courant. Ces
spires possèdent un moment magnétique et la description d’un plasma magnétisé
est facilitée par l’usage d’une description en terme de densité volumique de dipôles
magnétiques microscopiques.
Rappelons d’abord la définition du moment magnétique d’une distribution de courants microscopiques. L’amplitude du potentiel vecteur généré par un courant décroît
comme l’inverse de la distance mesuré depuis ce courant. Si nous considérons un
courant fermé dont l’extension est limitée à une région de l’espace de taille plus
petite que la distance à laquelle le champ est observé, alors le développement de
Taylor de l’inverse de la distance :
1
|R − r|
=
1
|R|
+
r·R
|R|
3
+ ...
où |r| < |R|, peut être utilisé dans l’intégrale définissant le potentiel vecteur. Pour
un courant fermé,
jd
3
r = 0, ainsi le premier terme de ce développement est identiquement nul ; par contre, le deuxième terme engendre un potentiel vecteur non nul
proportionnel au moment magnétique de la distribution de courant.
m ≡
r × j
2
d
3
r
(2.15)
Ainsi, le potentiel vecteur a d’un dipôle magnétique m décroît comme le carré de la
distance R mesuré depuis le dipôle.
a (R) =
m 0
4p
m × R
R 3
(2.16)
L’intégrale :
r × jd
3
r/2, définissant le moment dipolaire magnetique, est ici étendue à un volume microscopique. Dans le cadre de l’étude des plasmas magnétisés
il est pertinent de décrire le plasma comme un ensemble de dipôles magnétiques
microscopiques ; il est ensuite nécessaire, pour décrire l’échelle macroscopique, d’introduire le vecteur magnétisation M definissant la densité volumique de dipôles.
Le moment magnétique associé à un élément de volume mésoscopique est défini
comme le produit du vecteur magnétisation M avec l’élément de volume mésoscopique d
3
r : m
A·m
2
≡ M
A·m
−1
d
3
r
m
3
. Le potentiel vecteur A créé par
une distribution volumique (Figure 2.8) de moments dipolaires magnétiques microscopiques est donc obtenu en sommant la contribution de chaque élément de volume
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
Cet ensemble de définitions et de résultats sera utilisé pour construire la théorie des
ondes et oscillations dans les plasmas. Considérons maintenant le problème de la
modélisation des courants microscopiques en terme de magnétisation.
Lorsqu’un plasma est magnétisé, les orbites des électrons et des ions sont des hélices
s’enroulant autour des lignes de champ magnétique, les courants électriques associés à ces orbites hélicoïdales sont équivalents à de petites spires de courant. Ces
spires possèdent un moment magnétique et la description d’un plasma magnétisé
est facilitée par l’usage d’une description en terme de densité volumique de dipôles
magnétiques microscopiques.
Rappelons d’abord la définition du moment magnétique d’une distribution de courants microscopiques. L’amplitude du potentiel vecteur généré par un courant décroît
comme l’inverse de la distance mesuré depuis ce courant. Si nous considérons un
courant fermé dont l’extension est limitée à une région de l’espace de taille plus
petite que la distance à laquelle le champ est observé, alors le développement de
Taylor de l’inverse de la distance :
1
|R − r|
=
1
|R|
+
r·R
|R|
3
+ ...
où |r| < |R|, peut être utilisé dans l’intégrale définissant le potentiel vecteur. Pour
un courant fermé,
jd
3
r = 0, ainsi le premier terme de ce développement est identiquement nul ; par contre, le deuxième terme engendre un potentiel vecteur non nul
proportionnel au moment magnétique de la distribution de courant.
m ≡
r × j
2
d
3
r
(2.15)
Ainsi, le potentiel vecteur a d’un dipôle magnétique m décroît comme le carré de la
distance R mesuré depuis le dipôle.
a (R) =
m 0
4p
m × R
R 3
(2.16)
L’intégrale :
r × jd
3
r/2, définissant le moment dipolaire magnetique, est ici étendue à un volume microscopique. Dans le cadre de l’étude des plasmas magnétisés
il est pertinent de décrire le plasma comme un ensemble de dipôles magnétiques
microscopiques ; il est ensuite nécessaire, pour décrire l’échelle macroscopique, d’introduire le vecteur magnétisation M definissant la densité volumique de dipôles.
Le moment magnétique associé à un élément de volume mésoscopique est défini
comme le produit du vecteur magnétisation M avec l’élément de volume mésoscopique d
3
r : m
A·m
2
≡ M
A·m
−1
d
3
r
m
3
. Le potentiel vecteur A créé par
une distribution volumique (Figure 2.8) de moments dipolaires magnétiques microscopiques est donc obtenu en sommant la contribution de chaque élément de volume
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit