50
2 • Champs, particules et fluides
Une distribution volumique de dipôles dans un volume V délimité par une surface
S, décrite par le vecteur polarisation P (u), générera donc en tout point r un potentiel électrique, f, égale à la superposition des potentiels élementaires créés par les
dipôles élémentaires mésoscopiques Pd
3
u (Figure 2.6) constituant le milieu diélectrique considéré.
r
u
r − u
P(u)
φ(r)
V
S
n
Figure 2.6 Potentiel macroscopique créé par une distribution continue
de dipôles microscopiques.
Dipôle électrique : w (r) =
p·r
4p´ 0 r 3
Milieu dipolaire : f (r) =
V
P (u) · (r − u)
4p´ 0 |r − u|
3
d
3
u
Cette formule peut-être réarrangée en faisant apparaître le gradient de l’inverse de la
distance entre les dipôles élémentaires et le point où le champ est calculé :
V
P (u) ·∇ u |r − u|
−1 d
3
u
Puis, compte tenu de l’identité :
∇· (U V) = U ∇·V + ∇U ·V
et du théorème d’Ostrogradski, le potentiel créé par une distribution volumique de
dipôles électriques se réarrange sous la forme finale :
f (r) = −
1
4p´ 0
V
∇ u ·P (u)
|r − u|
d
3
u+
1
4p´ 0
S
P (u) ·n
|r − u|
d
2 s
n étant le vecteur normal à la surface, orienté vers l’extérieur (Figure 2.6). Sous cette
forme, on voit donc que le potentiel créé par une distribution volumique de dipôles
électriques peut s’interpréter comme le potentiel d’une distribution volumique de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit