2.1 Électrodynamique
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valeurs absolues et de signes opposés, constituent un dipôle si leur distance relative
est beaucoup plus petite que la distance à laquelle le champ est observé. Sous cette
hypothèse, le potentiel, mesuré en un point de position R, créé par un dipôle où les
deux charges +q et −q sont situées en ±r, décroît à grande distance comme le carré
de l’inverse de la distance |R| ; en effet, le développement de Taylor du potentiel
généré par chaque particule est donné par :
1
|R ± r|
=
1
|R|
∓
r·R
|R|
3
+ ...
lorsque |r| < |R|. Il est aisé de voir que la somme des deux termes du premier ordre
en |R|
−1 , pour une charge positive et une charge négative de même valeur absolue,
est nulle. Par contre, la somme des deux termes du deuxième ordre, est non nulle et
fait apparaître le moment dipolaire p = qr + −q (−r) ; nous négligerons le troisième
ordre et les suivants qui constituent des corrections multipolaires. Ce comportement
du potentiel d’un système de charges, globalement neutre et spacialement localisé,
permet de définir le moment dipolaire :
q i r i → p ≡
r (r) rd
3
r
pour toute distribution de charge r (r) globalement neutre :
r (r) d
3
r = 0 ; le
potentiel dipolaire à grande distance, w (R), s’exprime donc simplement comme :
w (R) =
p·R
4p´ 0 R 3
(2.11)
Le volume d’intégration définissant p =
r (r) rd
3
r est ici microscopique. La
notion de champ dipolaire d’un dipôle microscopique ainsi défini, considérons un
ensemble de dipôles microscopiques ou milieu dipolaire ; la théorie des milieux
diélectriques considère la matière, non pas comme un ensemble de charges électriques libres, mais comme un ensemble de dipôles électriques microscopiques. Il
est donc nécessaire, pour décrire l’échelle macroscopique, dans le cadre d’une telle
modélisation, d’introduire le vecteur polarisation P définissant la densité volumique
des dipôles.
Par définition, le moment dipolaire d’un élément de volume mésoscopique, c’est-àdire infinitésimal à l’échelle macroscopique et suffisamment large à l’échelle microscopique, est égal au produit du vecteur polarisation P multiplié par l’élément de
volume mésoscopique d
3
r, p [C·m] ≡ P
C·m
−2
d
3
r
m
3
. Le vecteur polarisation représente donc la densité volumique de dipôle et le caractère mésoscopique du
volume considéré permet de lisser les fluctuations microscopiques. Cette définition
est conforme aux cadres et aux méthodes usuels de modélisation en mécanique et en
électrodynamique des milieux continus où l’on considère des densités volumique de
masse, de charge, de courant etc.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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valeurs absolues et de signes opposés, constituent un dipôle si leur distance relative
est beaucoup plus petite que la distance à laquelle le champ est observé. Sous cette
hypothèse, le potentiel, mesuré en un point de position R, créé par un dipôle où les
deux charges +q et −q sont situées en ±r, décroît à grande distance comme le carré
de l’inverse de la distance |R| ; en effet, le développement de Taylor du potentiel
généré par chaque particule est donné par :
1
|R ± r|
=
1
|R|
∓
r·R
|R|
3
+ ...
lorsque |r| < |R|. Il est aisé de voir que la somme des deux termes du premier ordre
en |R|
−1 , pour une charge positive et une charge négative de même valeur absolue,
est nulle. Par contre, la somme des deux termes du deuxième ordre, est non nulle et
fait apparaître le moment dipolaire p = qr + −q (−r) ; nous négligerons le troisième
ordre et les suivants qui constituent des corrections multipolaires. Ce comportement
du potentiel d’un système de charges, globalement neutre et spacialement localisé,
permet de définir le moment dipolaire :
q i r i → p ≡
r (r) rd
3
r
pour toute distribution de charge r (r) globalement neutre :
r (r) d
3
r = 0 ; le
potentiel dipolaire à grande distance, w (R), s’exprime donc simplement comme :
w (R) =
p·R
4p´ 0 R 3
(2.11)
Le volume d’intégration définissant p =
r (r) rd
3
r est ici microscopique. La
notion de champ dipolaire d’un dipôle microscopique ainsi défini, considérons un
ensemble de dipôles microscopiques ou milieu dipolaire ; la théorie des milieux
diélectriques considère la matière, non pas comme un ensemble de charges électriques libres, mais comme un ensemble de dipôles électriques microscopiques. Il
est donc nécessaire, pour décrire l’échelle macroscopique, dans le cadre d’une telle
modélisation, d’introduire le vecteur polarisation P définissant la densité volumique
des dipôles.
Par définition, le moment dipolaire d’un élément de volume mésoscopique, c’est-àdire infinitésimal à l’échelle macroscopique et suffisamment large à l’échelle microscopique, est égal au produit du vecteur polarisation P multiplié par l’élément de
volume mésoscopique d
3
r, p [C·m] ≡ P
C·m
−2
d
3
r
m
3
. Le vecteur polarisation représente donc la densité volumique de dipôle et le caractère mésoscopique du
volume considéré permet de lisser les fluctuations microscopiques. Cette définition
est conforme aux cadres et aux méthodes usuels de modélisation en mécanique et en
électrodynamique des milieux continus où l’on considère des densités volumique de
masse, de charge, de courant etc.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit