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2 • Champs, particules et fluides
moyen d’électrons contenus dans le volume dr autour de r. Tous les électrons se
trouvant en r à l’instant t + dt proviennent d’un voisinage situé en r−dr (dt) à
l’instant t où dr (dt) est le déplacement des électrons durant une durée infinitésimale
dt (Figure 2.5). Cette condition, conséquence du principe de conservation du nombre
de particules, s’exprime par l’identité :
n (r, t + dt) =
C (dr, dt) n (r − dr, t) ddr
(2.7)
ou C (dr, dt) est la probabilité qu’un électron effectue un déplacement dr durant un
temps dt. Nous n’avons pas étudié cette loi de probabilité C, par contre, les expressions des trois premiers moments spatiaux de C, données par :
1=
C (dr, dt) ddr, dr =
drC (dr, dt) ddr, drdr =
drdrC (dr, dt) ddr
(2.8)
ont été exprimés en fonction des caractéristiques des particules et du champ dans le
cadre de la théorie du libre parcours moyen (2.6, 2.5). Compte tenu du caractère infinitésimal, à l’échelle macroscopique, des quantités mésoscopiques, l’identité (2.7),
traduisant le principe de conservation du nombre de particules, peut-être développée
en série de Taylor.
dt
∂n (r, t)
∂t
= −
C (dr, dt)
dr·
∂n (r, t)
∂r
−
drdr
2
·
∂
∂r
∂n (r, t)
∂r
ddr
Les relations (2.5), (2.6) et (2.8) permettent alors d’obtenir la forme finale de l’équation de transport électronique ; le dernier terme de cette identité est de nature tensorielle, mais, compte tenu de l’isotropie du problème :
drdr = dr·dr I/3 = 2D dt I,
où I est le tenseur identité. La densité électronique obéit donc à une équation de
diffusion-convection aussi appelée équation de Fokker-Planck.
Le taux de variation temporel de la densité est déterminé par des processus de transport diffusif et convectif, ces processus sont décrits par un vecteur densité de flux de
particule G l dont les deux composantes, convectives et diffusives, sont proportionnelles à la densité et à son gradient. Nous serons amenés a considérer, soit ce vecteur
densité de flux de particules G l , soit le vecteur densité de courant J l . L’équation de
transport des électrons (et des autres espèces chargées) dans un plasma en présence
d’un gradient de potentiel électrique ∇f et d’un gradient de densité ∇n est donc
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
moyen d’électrons contenus dans le volume dr autour de r. Tous les électrons se
trouvant en r à l’instant t + dt proviennent d’un voisinage situé en r−dr (dt) à
l’instant t où dr (dt) est le déplacement des électrons durant une durée infinitésimale
dt (Figure 2.5). Cette condition, conséquence du principe de conservation du nombre
de particules, s’exprime par l’identité :
n (r, t + dt) =
C (dr, dt) n (r − dr, t) ddr
(2.7)
ou C (dr, dt) est la probabilité qu’un électron effectue un déplacement dr durant un
temps dt. Nous n’avons pas étudié cette loi de probabilité C, par contre, les expressions des trois premiers moments spatiaux de C, données par :
1=
C (dr, dt) ddr, dr =
drC (dr, dt) ddr, drdr =
drdrC (dr, dt) ddr
(2.8)
ont été exprimés en fonction des caractéristiques des particules et du champ dans le
cadre de la théorie du libre parcours moyen (2.6, 2.5). Compte tenu du caractère infinitésimal, à l’échelle macroscopique, des quantités mésoscopiques, l’identité (2.7),
traduisant le principe de conservation du nombre de particules, peut-être développée
en série de Taylor.
dt
∂n (r, t)
∂t
= −
C (dr, dt)
dr·
∂n (r, t)
∂r
−
drdr
2
·
∂
∂r
∂n (r, t)
∂r
ddr
Les relations (2.5), (2.6) et (2.8) permettent alors d’obtenir la forme finale de l’équation de transport électronique ; le dernier terme de cette identité est de nature tensorielle, mais, compte tenu de l’isotropie du problème :
drdr = dr·dr I/3 = 2D dt I,
où I est le tenseur identité. La densité électronique obéit donc à une équation de
diffusion-convection aussi appelée équation de Fokker-Planck.
Le taux de variation temporel de la densité est déterminé par des processus de transport diffusif et convectif, ces processus sont décrits par un vecteur densité de flux de
particule G l dont les deux composantes, convectives et diffusives, sont proportionnelles à la densité et à son gradient. Nous serons amenés a considérer, soit ce vecteur
densité de flux de particules G l , soit le vecteur densité de courant J l . L’équation de
transport des électrons (et des autres espèces chargées) dans un plasma en présence
d’un gradient de potentiel électrique ∇f et d’un gradient de densité ∇n est donc
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit