2.1 Électrodynamique
43
m est la masse de l’électron. Les deux premiers moments sont donc donnés par :
P(v i ) =
m
2pkT
3
2 exp
−
mv
2
i
2kT
→ →v i = 0, v i ·v i =
3kT
m
, v i ·v j i = j = 0
Enfin, chaque libre parcours est décrit par un vecteur déplacement r i tel que
r i = v i t i ; l’ensemble des libres parcours est donc une série de vecteurs aléatoires
décrivant la dynamique de l’électron considéré : r 1 /r 2 /r 3 /r 4 /.../r i .... La loi de
probabilité de ces déplacements aléatoires est inconnue, mais, compte tenu des
résultats précédents, nous pouvons exprimer les deux premiers moments de ces
variables en fonction des données du problème.
r i = v i t i → →r i = 0,
r i ·r i =
3kT
m
2t
2 ,
r i ·r j i = j = 0
Considérons maintenant une durée dt, beaucoup plus longue que le temps moyen
entre deux collisions t, et beaucoup plus courte que l’échelle caractéristique de temps
associée à la dynamique macroscopique ; dt est ce que l’on appelle une échelle mésoscopique, intermédiaire entre les échelles microscopique et macroscopique.
Cet ordering, constitué de trois échelles, n’est pas restreint à l’analyse de ce problème
mais peut être identifié pour un grand nombre de variables physiques (Figure 2.3).
La hiérarchie des niveaux de description s’établit ainsi :
Microscopique : t 1 /t 2 /t 3 /t 4
M´ esoscopique : dt
... t n+1 /t n+2 /t n+3 /t n+4
dt...
Macroscopique : t
(2.4)
L’ordering des temps, dans un plasma de laboratoire, étant du type : micro/méso/macro ∼ 10
−7 s/10
−5 s/10
−3 s, cette durée dt embrasse donc N collisions, N grand
devant l’unité ; par exemple N ∼ 100. Calculons la valeur moyenne du déplacement
mésoscopique d’un électron dr =
i=N
i=1
r i durant un intervalle de temps mésoscopique
dt =
i=N
i=1
t i .
dt =
i=N
i=1
t i → →dt = N t,
dr (dt) =
i=N
i=1
r i → →dr (dt) =
i=N
i=1
r i = 0
Ce dernier résultat est conforme à l’intuition physique, en effet, les probabilités de
déplacement vers le haut, vers le bas, vers l’avant, vers l’arrière, vers la gauche et vers
la droite sont égales ; en conséquence, la moyenne de la somme de ces déplacements
est nécessairement nulle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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m est la masse de l’électron. Les deux premiers moments sont donc donnés par :
P(v i ) =
m
2pkT
3
2 exp
−
mv
2
i
2kT
→ →v i = 0, v i ·v i =
3kT
m
, v i ·v j i = j = 0
Enfin, chaque libre parcours est décrit par un vecteur déplacement r i tel que
r i = v i t i ; l’ensemble des libres parcours est donc une série de vecteurs aléatoires
décrivant la dynamique de l’électron considéré : r 1 /r 2 /r 3 /r 4 /.../r i .... La loi de
probabilité de ces déplacements aléatoires est inconnue, mais, compte tenu des
résultats précédents, nous pouvons exprimer les deux premiers moments de ces
variables en fonction des données du problème.
r i = v i t i → →r i = 0,
r i ·r i =
3kT
m
2t
2 ,
r i ·r j i = j = 0
Considérons maintenant une durée dt, beaucoup plus longue que le temps moyen
entre deux collisions t, et beaucoup plus courte que l’échelle caractéristique de temps
associée à la dynamique macroscopique ; dt est ce que l’on appelle une échelle mésoscopique, intermédiaire entre les échelles microscopique et macroscopique.
Cet ordering, constitué de trois échelles, n’est pas restreint à l’analyse de ce problème
mais peut être identifié pour un grand nombre de variables physiques (Figure 2.3).
La hiérarchie des niveaux de description s’établit ainsi :
Microscopique : t 1 /t 2 /t 3 /t 4
M´ esoscopique : dt
... t n+1 /t n+2 /t n+3 /t n+4
dt...
Macroscopique : t
(2.4)
L’ordering des temps, dans un plasma de laboratoire, étant du type : micro/méso/macro ∼ 10
−7 s/10
−5 s/10
−3 s, cette durée dt embrasse donc N collisions, N grand
devant l’unité ; par exemple N ∼ 100. Calculons la valeur moyenne du déplacement
mésoscopique d’un électron dr =
i=N
i=1
r i durant un intervalle de temps mésoscopique
dt =
i=N
i=1
t i .
dt =
i=N
i=1
t i → →dt = N t,
dr (dt) =
i=N
i=1
r i → →dr (dt) =
i=N
i=1
r i = 0
Ce dernier résultat est conforme à l’intuition physique, en effet, les probabilités de
déplacement vers le haut, vers le bas, vers l’avant, vers l’arrière, vers la gauche et vers
la droite sont égales ; en conséquence, la moyenne de la somme de ces déplacements
est nécessairement nulle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit