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2 • Champs, particules et fluides
t, ou son inverse, la fréquence de collision n.
p (t) = exp
−
t
t
= exp (−nt)
(2.2)
Par exemple, dans un plasma totalement ionisé, cette fréquence de collision, n ei ,
s’exprime en fonction de la densité ionique n i et de la température électronique
T e ; pour un plasma faiblement ionisé la dynamique des collisions électroniques est
totalement différente et la fréquence de collision, n en , est alors fonction de la densité
de neutres n n .
n ei
Hz
≈ 10
−5
n i
cm 3
T e
eV
−
3
2
,
n en
Hz
≈ 10
−8
n n
cm 3
T e
eV
1
2
(2.3)
Sur la base de cette loi de probabilité, il est aisé d’établir le comportement
macroscopique d’une population d’électrons ; nous allons ainsi démontrer que ce
comportement peut être décrit par un courant macroscopique obéissant aux lois de
Fick et Ohm. Considérons pour cela l’histoire d’un électron comme une succession
de libres parcours et de collisions. D’un point de vue quantitatif, cette histoire est
décrite par une série de temps aléatoires, t 1 /t 2 /t 3 /t 4 /.../t i /...,
Libre Parcours
t1
// Libre Parcours
t2
// ...// Libre Parcours
ti
//...
correspondant à la durée de chaque libre parcours, les collisions, quant à elles, étant
considérées comme des évenements beaucoup plus courts que les libres parcours ;
le rapport d’un temps de libre parcours sur une durée de collision est donné par le
rapport de la distance entre deux atomes sur la dimension d’un atome (Figure 2.2),
l’ordering est donc fort et justifie l’approximation précédente.
Ces différents temps sont des variables aléatoires dont nous avons établi la loi de
probabilité précédemment (2.2) ; en particulier, la moyenne t i et la dispersion quadratique
t
2
i
de ces temps sont données par :
p (t i ) = exp
−
t i
t
→ →t i = t,
t
2
i
= 2t
2
Chaque libre parcours, entre deux collisions, est décrit par une vitesse, elle aussi
aléatoire ; la série des vitesses correspondant à l’histoire d’un électron est donc une
série de vecteurs aléatoires : v 1 /v 2 /v 3 /v 4 /.../v i ... dont nous connaissons la loi de
probabilité et dont les deux premiers moments peuvent être aisément établis. En effet,
compte tenu du caractère isotrope du problème, la valeur moyenne de la vitesse entre
deux collisions est nécessairement nulle et, si la population d’électrons est décrite
par une température T , la valeur quadratique moyenne de la vitesse vaut 3kT /m où
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
t, ou son inverse, la fréquence de collision n.
p (t) = exp
−
t
t
= exp (−nt)
(2.2)
Par exemple, dans un plasma totalement ionisé, cette fréquence de collision, n ei ,
s’exprime en fonction de la densité ionique n i et de la température électronique
T e ; pour un plasma faiblement ionisé la dynamique des collisions électroniques est
totalement différente et la fréquence de collision, n en , est alors fonction de la densité
de neutres n n .
n ei
Hz
≈ 10
−5
n i
cm 3
T e
eV
−
3
2
,
n en
Hz
≈ 10
−8
n n
cm 3
T e
eV
1
2
(2.3)
Sur la base de cette loi de probabilité, il est aisé d’établir le comportement
macroscopique d’une population d’électrons ; nous allons ainsi démontrer que ce
comportement peut être décrit par un courant macroscopique obéissant aux lois de
Fick et Ohm. Considérons pour cela l’histoire d’un électron comme une succession
de libres parcours et de collisions. D’un point de vue quantitatif, cette histoire est
décrite par une série de temps aléatoires, t 1 /t 2 /t 3 /t 4 /.../t i /...,
Libre Parcours
t1
// Libre Parcours
t2
// ...// Libre Parcours
ti
//...
correspondant à la durée de chaque libre parcours, les collisions, quant à elles, étant
considérées comme des évenements beaucoup plus courts que les libres parcours ;
le rapport d’un temps de libre parcours sur une durée de collision est donné par le
rapport de la distance entre deux atomes sur la dimension d’un atome (Figure 2.2),
l’ordering est donc fort et justifie l’approximation précédente.
Ces différents temps sont des variables aléatoires dont nous avons établi la loi de
probabilité précédemment (2.2) ; en particulier, la moyenne t i et la dispersion quadratique
t
2
i
de ces temps sont données par :
p (t i ) = exp
−
t i
t
→ →t i = t,
t
2
i
= 2t
2
Chaque libre parcours, entre deux collisions, est décrit par une vitesse, elle aussi
aléatoire ; la série des vitesses correspondant à l’histoire d’un électron est donc une
série de vecteurs aléatoires : v 1 /v 2 /v 3 /v 4 /.../v i ... dont nous connaissons la loi de
probabilité et dont les deux premiers moments peuvent être aisément établis. En effet,
compte tenu du caractère isotrope du problème, la valeur moyenne de la vitesse entre
deux collisions est nécessairement nulle et, si la population d’électrons est décrite
par une température T , la valeur quadratique moyenne de la vitesse vaut 3kT /m où
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit